数论函数定义及性质

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一些奇奇怪怪的数学定义

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积性函数

对于一个数论函数 \mathbf {f},若对于任意的 a 与 b 互质，都有 \mathbf{f}(ab)=\mathbf{f}(a)\times \mathbf{f}(b),则称 \mathbf{f} 为一个积性函数,即使不满足 a 与 b 互质，仍具有上述性质的成为完全积性函数

数论函数是指 函数值为正整数的函数 --by NYY

莫比乌斯函数 \mu

[n=1]=\sum_{d|n} \varphi(d)

奇怪的性质

由定义可以知道 \mu(1)=1

通过递归的方法可以得到以下的性质：

当一个数含有平方因子时，\mu(a)=0

当一个数为质数时，\mu(a)=-1

一个神奇的拓展结论为：

\varphi(n)=\sum_{d|n}d \times \mu(\frac{n}{d})

欧拉函数 \varphi

\varphi(m)=\sum_{i=1}^{m}[\operatorname{gcd}(i,m)=1]

奇怪的性质

\sum_{d|n}\varphi(d)=n

欧拉定理

对于 a 若如果与一个数 m 互质，即a\perp m，则：

a^{\varphi(m)}\equiv 1\ \ (\bmod\ \ m)

扩展欧拉定理

对于 a,b,m\in \mathbb{Z}，则有性质

a^b\equiv \begin{cases} a^b \ \ \ \ (b<m)\\ \\a^{(b \ \bmod \ \varphi(m))+\varphi(m)} (b\geq m)\end{cases}

西格玛函数 \sigma

$$n=p_1^{k1}\times p_2^{k2}\times p_3^{k3}\times …\times p_n^{kn}$$ 那么 $\sigma(n)=(1+p_1+p_1^2+…+p_1^{k1})(1+p_2+p_2^2+…+p_2^{k2})…(1+p_n+p_n^2+…+p_n^{kn}) \sigma(n)=\sum_{d|n} d