双曲线
Tooler_Yang
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个人记录
如图，直线 g 与双曲线 f 相切与 A 点。
设直线 g 的解析式为 :y=k_2x+b，
双曲线 f 的解析式为 :y=\frac{k_1}{x} ，
直线 g 交 x,y 轴于 B,C 两点。
我们可以得到 S_\Delta OBC=2k_1
设切点 A 的坐标为 :(a,\frac{k_1}{a})，那么带入到直线 g 的解析式中得 ：
\frac{k_1}{a}=k_2a+b,
解关于 b 的一元一次方程得：
b=\frac{k_1}{a}-k_2a
又因为两个函数只有一个交点，那么两个解析式联立的方程有且仅有一个实根
\left\{
\begin{aligned}
y=k_2x+b\\
y=\frac{k_1}{x}\\
\end{aligned}
\right.
联立后可得：
k_2x+b=\frac{k1}{x}
由于 x 一定不为 0，那么方程可化为：
k_2x^2+bx-k_1=0
此方程有且仅有一个实数解 => 方程的判别式等于 0 ：
\begin{aligned}
\Delta &=b^2+4k_1k_2 (把b=\frac{k_1}{a}-k_2a代入)\\
&=(\frac{k_1}{a}-k_2a)^2+4k_1k_2\\
&=(\frac{k_1}{a}+k_2a)^2=0
\end{aligned}
那么：
\frac{k_1}{a}+k_2a=0\\
\because a\ne0\\
\therefore k_2=-\frac{k_1}{a^2}
带入到 b 中得到：
\begin{aligned}
b&=\frac{k_1}{a}-(-\frac{k_1}{a^2})\cdot a\\
b&=\frac{k_1}{a}+\frac{k_1}{a}\\
b&=\frac{2k_1}{a}\\
\end{aligned}
那么就可以用含 k_1,a 的代数式去表示 g 的解析式：
\begin{aligned}
y&=k_2x+b\\
&=-\frac{k_1}{a^2}x+\frac{2k_1}{a}
\end{aligned}
这样 B,C 的坐标和 OB,OC 的长度就出来啦！！：
\begin{aligned}
B:(0,\frac{2k_1}{a})\\
C:(-\frac{\frac{2k_1}{a}}{-\frac{k_1}{a^2}},0)=>(\frac{2}{a},0)\\
->\left\{
\begin{aligned}
OB=\frac{2k_1}{a}\\
OC=\frac{2}{a}
\end{aligned}
\right.
\end{aligned}
那么我们就会惊喜地发现 S_\Delta{OBC}=2k_1