「笔记四」Amitsur–Levitzki 定理

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期中考完了, 该考虑挂科相关事宜了.

"......不高兴干什么, 学数学就要高高兴兴的, 不高兴我们就停下来, 唱一首歌再上课."

前排提醒: 我无法确保所写的内容毫无错误, 所以如果觉得内容说不过去, 还请大家相信自己是对的而我是错的.

从一道有着图论背景的题目说起:

给定一张 n 个点 m 条边的有向图 (可有重边与自环).

有向图的一条欧拉路径是 m 条边的一个排列 (e_1, e_2,\dots, e_m), 满足 e_i 的终点是 e_{i + 1} 的起点. 设全体欧拉路径构成集合 \mathcal E.

证明: 当 m\geq 2n 时, 有:

\sum_{\sigma = (e_1, e_2, \dots, e_m)\in\mathcal E}\operatorname{sgn}(\sigma) = 0.

注: 当 m < 2n 时, 我们可以构造具有唯一欧拉路径的图, 所以这个界是紧的.

当 m > 2n 时, 可以添加 \delta 个新点和新边使得 m, n 变成 m'=m + \delta, n'=n + \delta, 从而 m' = 2n'.

本篇文章不打算就纯图论方法对其进行证明, 有兴趣的读者可参考资料[^1][^2].

上述问题等价于:

Theorem (Amitsur–Levitzki). 设 A_{1,\dots 2n}\in M_n(\mathbb C), 则如下恒等式成立:

S_{2n}(A_1, A_2,\dots A_{2n}) =\sum_{\sigma\in S_{2n}}\operatorname{sgn}(\sigma)A_{\sigma(1)}A_{\sigma(2)}\dots A_{\sigma(2n)} = 0.

注: 由线性性, 我们只需考虑 A 是 "只有单个位置为 1 的矩阵" 的情况, 此时 A 对应了一条边, \prod A 若非零则对应了一条欧拉路径. 由此可见等价性.

下述内容参考了资料[^3].

为了更好地描述这一问题, 我们引入一些新的语言.

Definition. 我们称线性空间 E 是一个代数, 若 E 上定义了一个保持线性性的乘法 (注: 乘法可以没有交换律, 甚至没有结合律).

Example. 全体矩阵是线性空间, 它关于矩阵乘法构成代数.

Definition. 设 T 是一个 n 维的线性空间, 称 E 是 T 的外代数, 若 E 是 T 上一个反对称的乘法 \wedge 自由生成的代数.

具体来说, E 是由如下形式的元素:

x_1\wedge x_2\wedge\dots\wedge x_s,x_{1\dots s}\in T

以及它们的线性组合构成的线性空间. 乘法 \wedge 对 E 中元素满足线性性和反对称性, 从而 E 构成代数.

Remark. 反对称性有两种定义方式:

(1) x\wedge y = -(y\wedge x).

(2) x\wedge x = 0.

在 \text{char}\neq 2 时两者等价, 但在 \text{char} = 2 时 (2) 是比 (1) 更强的条件.

由 \wedge 的性质, 我们可以知道:

Proposition. 若 x_{1\dots s}\in T 线性相关, 则:

x_1\wedge x_2\wedge\dots\wedge x_s = 0.

一个重要的推论是:

Corollary. \dim E = 2^{\dim T}. 具体而言, 设 \{e_1,e_2,\dots, e_{\dim T}\} 是 T 的一组基, 那么全体形如:

e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge \dots\wedge e_{i_k},i_1<i_2<\dots< i_k

的元素构成 E 的一组基.

注意到:

x_{\sigma(1)}\wedge x_{\sigma(2)}\wedge\dots\wedge x_{\sigma(s)} = \operatorname{sgn}(\sigma)x_{1}\wedge x_{2}\wedge\dots\wedge x_{s}

Remark. 聪明的读者想必已经发现, 我们可以使用外代数来定义行列式.

因此可以利用 \wedge 定义交错和 S_{2n} (下假设 x_1, x_2, \dots, x_{2n}\in T 线性无关):

\begin{aligned} &S_{2n}(A_1, A_2,\dots A_{2n})x_{1}\wedge x_{2}\wedge\dots\wedge x_{2n} \\ =&\left(\sum_{\sigma\in S_{2n}}\operatorname{sgn}(\sigma)A_{\sigma(1)}A_{\sigma(2)}\dots A_{\sigma(2n)}\right)x_{1}\wedge x_{2}\wedge\dots\wedge x_{2n} \\ =& \left(\sum_{i=1}^{2n} A_ix_i\right)^{2n}. \end{aligned}

需要强调的是, 最后是在 \wedge 意义下取 2n 次幂.

我们取 A = \sum_{i=1}^{2n} A_ix_i\in M_n(E). 若最后计算得到 A^{2n} = 0, 那么 S_{2n}(A_1, A_2,\dots A_{2n}) = 0, 这就完成了定理的证明.

Lemma. 设 A 是包含 \mathbb Q 的交换环 R 上的 n\times n 矩阵, 若:

\forall 1 < i \leq n,\operatorname{tr}A^i = 0.

则 A = 0.

Proof. 将 R 扩到代数封闭域, 则 \operatorname{tr}A^i = 0 蕴含着特征值幂和等于零, 从而特征多项式为零.

Remark. 这给出了矩阵为零矩阵的一个判据.

我们现证明 \operatorname{tr}(A^2)^k = 0, 这是因为:

\operatorname{tr}(A_{i_1}A_{i_2}\dots A_{i_k}) = \operatorname{tr}(A_{i_k}A_{i_1}\dots A_{i_{k-1}}).

从而每个圆排列 \widehat{A_{i_1}A_{i_2}\dots A_{i_k}} 的迹相同, 而他们的作为排列的符号系数和为零.

[^1]: Swan, Richard G. , "AN APPLICATION OF GRAPH THEORY TO ALGEBRA"

[^2]: Swan, Richard G. , "CORRECTION TO "AN APPLICATION OF GRAPH THEORY TO ALGEBRA" "

[^3]: Amitsur-Levitski 恒等式