立体几何

例题$1.$ 如图，斜三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$的棱长均为$a$，侧面$B_1C_1CB\perp$底面$ABC$，且$AC_1\perp BC.$ $\quad$ $1\degree$求异面直线$AA_1$与$BC_1$间的距离$.$ $\quad$ $2\degree$求侧面$A_1B_1BA$与底面$ABC$所成二面角的度数$.$ 例题$2.$ 设正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的边长为$1.$ 试在对角线$BD_1$上求一点$P$，在底面四边形$ABCD$上求一点$Q$，使得的$PQ+PC_1$值最大$.$ 例题$3.$ 已知棱长为$1$的正四面体$ABCD$，$M$为$AC$中点，$P$在线段$DM$上$.$ 试求$AP+BP$的最小值$.$ 例题$4.$ 如图，三棱柱$P-ABC$的三条侧棱$PA,PB,PC$两两垂直，侧面$PAB,PBC,PCA$与底面$ABC$所成的二面角的大小分别为$\theta_1,\theta_2,\theta_3$，底面$\triangle ABC$的面积为$4\sqrt 3$，若$\tan\theta_1+\tan\theta_2+\tan\theta_3=3\sqrt 2$，试求出$V_{P-ABC}.$