让数字转起来
一只书虫仔
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个人记录
今天我们来聊聊平面向量。
平面向量，顾名思义，有方向的量，比如\overrightarrow{a},\overrightarrow{AB}（妈呀，洛谷向量好难打QwQ）
向量的线性运算
向量的加法
向量的加法符合平行四边形法则（共起点）、三角形法则
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
与多边形法则
+\overrightarrow{A_3A_4}+\cdots+\overrightarrow{A_{n-1}A_n}=\overrightarrow{A_1A_n}
向量的减法
向量的减法运算符合三角形法则
\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}
这也是向量换底公式的基础。
向量的数乘运算
向量的数乘运算定义了一个实数\lambda与一个向量\overrightarrow{a}之间的运算，得到的仍然是一个向量\lambda\overrightarrow{a}，这个与原来的向量方向相同(\lambda>0)或相反(\lambda<0)，长度满足|\lambda\overrightarrow{a}|=|\lambda|\cdot|\overrightarrow{a}|
向量的线性运算满足的运算性质
向量的线性运算包括向量的加法、减法与数乘运算。其中加法与减法运算满足交换律、结合律，向量的数乘满足
(\lambda+\mu)\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{a}+\mu\overrightarrow{a},\lambda(\mu\overrightarrow{a})=(\lambda\mu)\overrightarrow{a},\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}
其中\lambda,\mu为实数。
平面向量的线性运算的坐标表示
设\overrightarrow{a}=(a_1,a_2),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)，则有
\overrightarrow{a}\pm\overrightarrow{b}=(a_1\pm b_1,a_2\pm b_2),\lambda\overrightarrow{a}=\lambda(a_1,a_2)=(\lambda a_1,\lambda a_2)
空间向量的线性运算的坐标表示
设\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)则有
\overrightarrow{a}\pm\overrightarrow{b}=(a_1\pm b_1,a_2\pm b_2,a_3\pm b_3)
\lambda\overrightarrow{a}=\lambda(a_1,a_2,a_3)=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)
平行向量基本定理
向量\overrightarrow{a}与非零向量\overrightarrow{b}共线，当且仅当存在唯一的实数\lambda，使得\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{b}。
平面向量分解的基本定理
若\overrightarrow{e}_1和\overrightarrow{e}_2是平面的两个不共线的向量，则它们可以构成平面的一组基底，该平面上的任意向量\overrightarrow{a}都可以用这组基底线性表示，即\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{e}_1+\mu\overrightarrow{e}_2，并且这种表示法是唯一的。
三点共线的向量表达
如果\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}是平面上的一组基底，且有\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}，那么“x+y=1”与“点C位于直线AB上”等价。
向量的数量积
数量积的定义
两个向量的数量积是一个实数，定义为：
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|\cdot\cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})
其中(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})表示向量\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}的夹角，范围为[0,\pi]。
向量数量积的几何意义
### 平面向量数量积的坐标运算
若$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1),\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$，则
$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2$$
$$\cos\left<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right>=\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|}=\dfrac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2}}}$$
向量的数量积又称为向量的内积，满足交换律，以及对加法与减法的分配律。
### 空间向量数量积的坐标运算
若$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1.z_1),\overrightarrow{b}=(x_2,y_2,z_2)$，则
$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|}=\dfrac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}}$$
向量的数量积又称为向量的内积，满足交换律，以及对加法与减法的分配律。~~这句话怎么那么熟悉？~~
好，今天我们就聊到这里。
p.s.作者弄完之后心源性猝死了（向量太难打了！）
```cpp
$\overrightarrow{a}
$\overrightarrow{a}$
高中数学总览$\dfrac{1}{3}$大庆！
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