在纯高中课内体系下解释碰撞次数趋近圆周率的问题
Anoshag_Ruwan
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3B1B 视频中的问题描述
先声明：我并未看完 3B1B 同样于 B 站可见的 解析视频 与 拓展延伸，该问题正常应使用动量与能量的相空间解决。
如图，物块 A,B 质量比为 N:1，B 起初保持静止 A 以 V>0（向左为正方向）匀速运动，所有碰撞均不存在能量损失，物块不受任何阻力，设在全过程中 B 总共参与碰撞 S 次。
结论：当 N\rightarrow+\infty,S\rightarrow\pi\sqrt{N+1}。
设 A 与 B 第 k 次碰撞（即总共第 2k-1 次碰撞）前速度分别为 v_{k,1},v_{k,2},v_{k,3}=v_{k,1}-v_{k,2}，当 v_{k,3}<0 时第 2k+1 次碰撞不会存在（此时无法讨论总碰撞次数的奇偶性问题，但不影响全局）。
由动量及能量守恒：\begin{cases}mv_{k,2}+Nmv_{k,1}=-mv_{k+1,2}+Nmv_{k+1,1}\textcircled{1}\\\frac{1}{2}mv_{k,2}^2+\frac{N}{2}mv_{k,1}^2=\frac{1}{2}mv_{k+1,2}^2+\frac{N}{2}mv_{k+1,1}^2\textcircled{2}\end{cases}，得 \begin{cases}v_{k+1,1}=\frac{(N-1)v_{k,1}+2v_{k,2}}{N+1}\\v_{k+1,2}=\frac{-2Nv_{k,1}+(N-1)v_{k,2}}{N+1}\end{cases}。
代换得 \begin{cases}v_{k+1,1}=v_{k,1}-\frac{2}{N+1}v_{k,3}\textcircled{3}\\v_{k+1,3}=2v_{k,1}+\frac{N-3}{N+1}v_{k,3}\textcircled{4}\end{cases}，联立消元得 v_{k+1,3}=2\frac{N-1}{N+1}v_{k,3}-v_{k-1,3}\textcircled{5}
由 v_{2,3} 得 v_{0,3}=-v_{1,3}=-V，即 \{v_{k,3}\} 遵循 a_{n-2} 项系数为 -1 的 二阶常系数齐次递推式，令 \cos\theta=\frac{N-1}{N+1},A=\frac{V}{\sin\frac{\theta}{2}}，则 \textcircled{5} 式可表示为和差化积公式：
即 $v_{k,3}$ 为在余弦曲线上作离散运动的点值。
$N\rightarrow+\infty,\cos\theta=\frac{N-1}{N+1}\rightarrow 1,\frac{N-1}{N+1}\rightarrow1-\frac{\theta^2}{2}\therefore\theta\rightarrow\frac{2}{\sqrt{N+1}},s\approx\frac{2\pi}{\theta}\approx\pi\sqrt{N+1}$（下图以 $N=63$ 为例，实际碰撞次数 $s=27$）。
由上述过程同样可得，若 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+2}=2\cos\frac{2\pi}{m}a_{n+1}-a_n(n\ge 1)$，则必然有 $(A,\varphi)$ 使得 $a_1=A\cos(\varphi),a_2=A\cos(\varphi+m)\therefore a_n\in[-A,A]$。特别地，若 $m\in N$，则 $\{a_n\}$ 是周期为 $m$ 的周期数列。
（以下不是高中内容）进一步地：在二阶常系数线性递推中：若数列 $\{f_n\}$ 满足 $g_{n+2}=ag_{n+1}+bg_n(n\ge0),g_1=a,g_0=1$，则 $g_n$ 可视作关于 $a,b$ 的二元多项式 $G_n(a,b)$,满足 $[a^xb^y]G_{n+2}(a,b)=[a^{x-1}b^y]G_{n+1}(a,b)+[a^xb^{y-1}]G_n(a,b),\begin{bmatrix}G_{n+1}(a,b)\\G_n(a,b)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a,b\\1,0\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix}a\\1\end{bmatrix}$。
$\therefore G_n(a,b)=\sum\limits_{k\ge 0}\tbinom{\frac{n+k}{2}}{\frac{n-k}{2}}a^kb^{\frac{n-k}{2}}$。当 $a=b=1$ 时，$\sum\limits_{k\ge 0}\tbinom{\frac{n+k}{2}}{\frac{n-k}{2}}=f_{n+1}$，相当于斐波那契的一种推广形式。
$\therefore \begin{bmatrix}a,b\\1,0\end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix}G_n(a,b),bG_{n-1}(a,b)\\G_{n-1}(a,b),bG_{n-2}(a,b)\end{bmatrix}(G_{-1}(a,b)=0)$。
$\therefore h_0=1,h_1=a,h_n=2ah_{n-1}-h_{n-2}$，则 $h_n=aG_{n-1}(2a,-1)-G_{n-2}(2a,-1)=\sum\limits_{k\ge0}(-1)^{\frac{n-k}{2}}2^{k-1}a^k(\tbinom{\frac{n+k}{2}}{\frac{n-k}{2}}+\tbinom{\frac{n+k-2}{2}}{\frac{n-k-2}{2}}),a=\cos\theta\rightarrow h_n=\cos(n\theta)$（切比雪夫多项式）。
使用生成函数：$H(x)=\sum\limits_{x\ge 0}{h_nx^n},(1-2ax+x^2)H(x)=1-ax$。
$\therefore H(x)=\frac{1-ax}{1-2ax+x^2},\sum\limits_{n\ge 0}\cos(n\theta)x^n=\frac{1-x\cos\theta}{1+x^2-2x\cos\theta}(x\in[-1,1])$。