初中数学杂谈

下定决心要写的时间：$2020$年$4$月$12$日 当时的年龄：$13$岁，小学六年级下学期 ------------ 首先感谢洛谷博客这个平台让我能够写很多~~烂七八糟~~的内容，感谢$\text{Markdowm}$和$\LaTeX$让我能够更好地书写这篇内容。 这篇文章本来是只想自己看的，最后觉得好东西要分享（虽然我这个明确意义上也不是什么好东西），于是就公开了，没什么其他想法。 写在开头的声明 **本人才疏学浅，文章可能存在大量疏漏，但是有问题就说，不喜勿喷！** ------------ 教材版本：人教版 ------------ # 1. 七年级上 ------------ ## 1.1 有理数的定义 ------------ ### 1.1.1 有理数的分类 ------------ $\text{按照定义分类：}$ $$\text{实数}\begin{cases}\text{有理数}\begin{cases}\text{整数}\begin{cases}\text{正整数}\\0\\\text{负整数}\end{cases}\\\text{分数}\begin{cases}\text{正分数}\\\text{负分数}\end{cases}\end{cases}\\\text{无理数}\implies\text{无限不循环小数}\\\end{cases}$$ $\text{按照符号分类：}$ $$\text{实数}\begin{cases}\text{有理数}\begin{cases}\text{正数}\begin{cases}\text{正整数}\\\text{正分数}\end{cases}\\0\\\text{负数}\begin{cases}\text{负整数}\\\text{负分数}\end{cases}\end{cases}\\\text{无理数}\implies\text{无限不循环小数}\end{cases}$$ ------------ 一个数前面的$+$，$-$号叫做这个数的**符号**，正数前面的$+$号**可以省略**。 例如：$3$和$+3$表示的是同一个正数。 而负数前面的$-$号**不能省略**。 例如：$3$和$-3$表示的是不同的两个数。 ------------ 正整数：像$1$，$2$，$3$，$100$……这样的数叫做**正整数** 负整数：像$-1$，$-2$，$-3$，$-100$……这样的数叫做**负整数** 正分数：像$0.5$，$\dfrac{5}{8}$，$\dfrac{7}{3}$，$100.89$，$1\dfrac{8}{9}$……这样的数叫做**正分数** 正分数：像$-0.5$，$-\dfrac{5}{8}$，$-\dfrac{7}{3}$，$-100.89$，$-1\dfrac{8}{9}$……这样的数叫做**正分数** ------------ $\color{red}\text{0既不是正数也不是负数}$ ------------ 正数和负数可以表示**相反意义的量**，例如： 如果用正数表示向南，那么向南$5$千米可以记作$\text{+5km}$，向北$10$可以记作$\text{-10km}$。 ------------ ### 1.1.2 数轴 ------------ 数轴的定义： $\color{red}\text{规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴}$ $\text{数轴三要素}\begin{cases}\text{原点}\\\text{正方向}\\\text{单位长度}\end{cases}$ ------------ 有理数可以用数轴上的点表示（$\color{LimeGreen}\surd$） 数轴上的点都表示有理数（$\color{Red}\times$） ------------ ### 1.1.3 相反数 ------------ 相反数的定义： $\color{red}\text{只有符号不同的两个数被称为相反数}$ ------------ 如果想要求任意一个数的相反数，只需要在这个数前面加上$-$号。 例如：$3$的相反数是$-3$，$-3$的相反数是$-(-3)$，$0$的相反数是$0$。 一般的，数$a$的相反数是$-a$；这里的$a$表示任意一个数，可以为正数，$0$，负数。 注意：$-a$不一定是负数，在$a > 0$时，$-a < 0$，在$a = 0$时，$-a = 0$，在$a < 0$时，$-a > 0$。 ------------ $a\text{的相反数}\begin{cases}-a < 0 & (a > 0)\\-a = 0 & (a = 0)\\-a > 0 & (a < 0)\end{cases}$ ------------ ### 1.1.4 绝对值 ------------ 绝对值的几何意义： $\color{red}\text{一个数在数轴上对应的点到原点的距离就是这个数的绝对值}$ 绝对者的代数意义： $\color{red}\text{一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0}$ ------------ $|a| = \begin{cases}a & (a \ge 0)\\-a & (a < 0)\end{cases}$ ------------ ### 1.1.5 倒数 $\color{red}\text{乘积为1的两个数互为倒数}$ 例如：$\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{2} = 1$，所以$\dfrac{2}{3}$和$\dfrac{3}{2}$互为倒数。 ------------ ## 1.2 有理数的运算 ------------ ### 1.2.1 有理数的加法 ------------ $\mathtt{(1)}$ 同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。 例如：$-5 + (-10) = -(5 + 10) = -15$ $\mathtt{(2)}$ 异号两数相加，如果绝对值相等，那么和为$0$；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 例如：$-10 + 5 = -(10 - 5) = -5$ $\mathtt{(3)}$ 一个数和$0$相加，和还是这个数。 例如：$-10 + 0 = -10$ ------------ ### 1.2.2 有理数的减法 $\color{red}\text{减去一个数，等于加上这个数的相反数}$ 例如：$-10 - 5 = -10 + (-5) = -(10 + 5) = -15$ ------------ ### 1.2.3 有理数的乘法 有理数乘法遵循“**奇负偶正**” ，即： **负数个数为奇数个时乘积为负数，而负数个数为偶数个时乘积为正数**，并把每个乘数的绝对值相乘。 例如：$-5 \times (-10) \times (-15) = -(5 \times 10 \times 15) = -750$ $-5 \times (-10) \times 15 = +(5 \times 10 \times 15) = 750$ ------------ ### 1.2.4 有理数的除法 $\color{red}\text{除以一个数，等于乘上这个数的倒数}$ 例如：$5 \div 2 = 5 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$ ----------- ### 1.2.5 有理数的运算顺序 运算级别从高到低排序为： | 名称 | 举例 | | :----------: | :----------: | | $\text{小括号}$ | $(5 + 7) \div 2$ | | $\text{中括号}$ | $\Big[10 \times \big(6 + 2\big)\Big] \div 4$ | | $\text{大括号}$ | $\bigg\{\Big[19 \div [18 \times (10 + 9)\Big]\times 8 \bigg\} \div 2$ | | $\text{开方和开根号}$ | $2^2$ $\qquad$ $\sqrt{4}$ | | $\text{乘除法}$ | $2 \times 8$ $\qquad$ $9 \div 3$ | | $\text{加减法}$ | $7 + 5$ $\qquad$ $9 - 8$ | ------------ ### 1.2.6 有理数的运算律 | 名称 | 针对运算 | 举例 | | :----------: | :----------: | :----------: | | $\text{加法交换律}$ | $\text{加法}$ | $a + b = b + a$ | | $\text{加法结合律}$ | $\text{加法}$ | $a + b + c = a + (b + c)$ | | $\text{乘法交换律}$ | $\text{乘法}$ | $a \times b = b \times a$ | | $\text{乘法结合律}$ | $\text{乘法}$ | $a \times b \times c = a \times (b \times c)$ | | $\text{乘法分配律}$ | $\text{乘法}$ | $a \times b + a \times c = a \times (b + c)$ | ------------ ### 1.2.7 乘方的定义及其相关概念 乘方的定义：求$n$个相同因数的积的运算叫做**乘方**。相同的因数叫做**底数**，相同因数的个数叫做**指数**，乘方运算的结果叫做**幂**。 例：  举例： $3^4$表示$4$个$3$相乘，即为$3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ $(-5)^2$表示$2$个$-5$相乘，即为$-5 \times (-5) = 25$ $-5^2$表示$2$个$5$相乘的相反数，即为$-(5 \times 5) = -25$ $\Big(\dfrac{3}{4}\Big)^2$表示$2$个$\dfrac{3}{4}$相乘，即为$\dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{16}$ $\dfrac{3}{4}^2$表示$2$个$3$相乘再除以$4$，即为$\dfrac{3 \times 3}{4} = \dfrac{9}{4}$ ------------ ### 1.2.8 科学计数法 把一个数表示成$a(1 \le a < 10)$与$10$的幂相乘的形式，叫做科学计数法。 例如： $200000 = 2 \times 100000 = 2 \times 10^5$ $5500 = 5.5 \times 100 = 5.5 \times 10^2$ $0.005 = 5 \times 0.001 = 5 \times 10^{-3}$ 准确数（又称精确数）：与实际完全相符合的数称为准确数（精确数）。 近似数：与实际接近的数称为近似数。 精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 ------------ ## 1.1.3 代数式 ------------ ### 1.3.1 代数式的概念 由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式。 注： $\mathtt{(1)}$这里的运算指加减、乘、除和开方； $\mathtt{(2)}$单独的一个数或字母也叫代数式。 ------------ ### 1.3.2 代数式的书写概念 $\mathtt{(1)}$数与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成$\centerdot$，也可以省略不写。 例如：$a \times b = ab$ $\mathtt{(2)}$数字通常写在字母前面。 例如：$5 \times x = 5x$ $\mathtt{(3)}$带分数与字母相乘时一定要化成假分数。 例如：$3\dfrac{1}{5} \times k = \dfrac{16}{5}k$ $\mathtt{(4)}$字母前面是$1$或$-1$时，把数字$1$省略。 例如：$-1 \times t = -1t = -t$ $\mathtt{(5)}$除法通常要写成分数的形式。 例如：$5 \div y = \dfrac{5}{y}(y \ne 0)$ ------------ ### 1.3.3 单项式（定义） 单项式：由数和字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，**单独的一个数或一个字母也是单项式**。 例如：$-1,x,100m^2,\pi d,\dfrac{3a^5}{4}$都是单项式。 注： $\mathtt{(1)}$单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加或减的关系； 例如：$a + b$不是单项式。 $\mathtt{(2)}$单项式中的分母不含字母； 例如：$\dfrac{1}{k}$不是单项式。 $\mathtt{(3)}$单独的一个数或一个字母也是单项式 例如：$5$是单项式。