[ZMO0120]三角函数的概念与性质

一只书虫仔 · 2020-03-22 15:10:12 · 个人记录

今天我们来复习三角函数的概念与性质。

三角函数

正弦函数

正弦函数 y=\sin x 的图象叫正弦曲线。正弦曲线的性质如下：

• 定义域为 \mathbb{R} ，值域为 [-1,1] ；
• 奇函数；
• 周期函数，最小正周期 T=2\pi ；
• 单调递增区间为 \left[-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\right] ，单调递减区间为 \left[\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi\right] ；
• 对称轴为 x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ，在对称轴处取到最值；
• 对称中心为 (k\pi,0) ，对称中心的横坐标为零点，其中 k\in\mathbb{Z} 。

余弦函数

正弦函数向左平移 \dfrac{\pi}{2} 个单位就得到余弦函数 y=\cos x 的图象余弦曲线，余弦函数是偶函数，一系列性质直接根据平移即可得到。正弦函数与余弦函数的图象如下：

正弦型函数

正弦型函数如

它的图像可以由正弦函数（或余弦函数）通过平移与伸缩变换得到，它的性质也可以由正弦函数与一次函数复合的复合函数的性质推导出来。正弦型函数的周期 T=\dfrac{2\pi}{|\omega|} ，|A| 称为振幅。在解题时，有时可以通过诱导公式改变 \varphi 的值将 A,\omega 都调整成正数，方便处理问题。

正切函数

正切函数 y=\tan x 的图象叫做正切曲线。正切曲线的性质如下：

• 定义域为 \left\{x|x\ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\right\} ，值域为 \mathbb{R} ；
• 奇函数；
• 周期函数，最小正周期为 \pi ；
• 在 \left(-\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right) 上单调递增 ；
• 中心对称函数，对称中心为 \left(\dfrac{k\pi}{2},0\right) ，其中 k\in\mathbb{Z} 。

正切函数的图象如下：

反三角函数

反正弦函数

函数 y=\sin x,x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] 有反函数，记为

称为正弦函数的反函数，它的值域为 \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] ，在定义域单调递增。

反余弦函数

函数 y=\cos x,x\in[0,\pi] 有反函数，记为

称为余弦函数的反函数，它的值域为 [0,\pi] ，在定义域上单调递增。

反正切函数

函数 y=\tan x,x\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) 有反函数，记为

称为正切函数的反函数，它的值域为 \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) ，在定义域上单调递增。

任意角的三角函数定义

任意角的三角函数定义

让角 \alpha 的定点与坐标原点重合，始边在 x 轴正半轴上，则它的终边落在平面直角坐标系内，从角 \alpha 终边上任取一个异于原点的点 P(x,y) 那么三角函数的定义如下：

• 正弦 \sin\alpha=\dfrac{y}{r}=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} ；
• 余弦 \cos\alpha=\dfrac{x}{r}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} ；
• 正切 \tan\alpha=\dfrac{y}{x} ；
• 余切 \cot\alpha=\dfrac{x}{y} ；
• 正割 \sec\alpha=\dfrac{r}{x}=\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{x} ；
• 余割 \csc\alpha=\dfrac{r}{y}=\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{y} 。

三角函数的符号

诱导公式

整圈

半圈

关于x轴对称

关于y轴对称

关于y=x对称