《抽象代数 I》第四章第2节习题选做

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  1. 求下列多项式在 \mathbb{Q} 上的分裂域：

(1) \left( x^{2} -2\right)\left( x^{2} -3\right)

\mathbb{Q}\left(\sqrt{2} ,\sqrt{3}\right)

(2) x^{3} -2

\mathbb{Q}\left(\sqrt[3]{2} ,\sqrt{3}\mathrm{i}\right) =\mathbb{Q}\left(\sqrt[3]{2} ,\omega \right) ,\omega =\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}

（在这个例子之前我一直以为扩张都是正规的……）

  1. 设 p 为素数，求 x^{p^{n}} -1 在 \mathrm{GF}( p) 上的分裂域。

注意到 x^{p^{n}} -1=( x-1)^{p^{n}}，所以分裂域就是 \mathrm{GF}( p)。

  1. 求 x^{6} +2x^{3} +2 在 \mathrm{GF}( 3) 上的分裂域。

注意到 \left( x^{6} +2x^{3} +2\right) =\left( x^{2} +2x+2\right)^{3}，而 x^{2} +2x+2 不可约，因此分裂域就是 \mathrm{GF}( 3)[ x] /\left( x^{2} +2x+2\right) \cong \mathrm{GF}\left( 3^{2}\right)。

  1. 设 F 是域，K 是多项式 f( x) \in F[ x] 在 F 上的分裂域，E 是 K/F 的中间域。证明 K 也是 f( x) 在 E 上的分裂域。

首先 K 包含了 f( x) 的所有零点，所以 f( x) 在 E 上的分裂域 L\subseteq K，由于 L 包含了 f( x) \in F[ x] 的所有零点，可知 K\subseteq L，因此 K=L。

  1. 设 K/F 是有限正规扩张，E 为中间域。证明 E/F 正规当且仅当 E 关于 K/F 是稳定的，即：对于 K 的任意 F-自同构 \sigma，都有 \sigma ( E) =E。

必要性即书中的命题 2.2，接下来证明充分性。考虑反证，不妨设一个 F 上的不可约多项式 f( x) 在 E 上恰有一部分零点，也即设 f( x) =( x-\alpha )( x-\beta ) \cdots，其中 \alpha \in E,\beta \notin E。习题 4 可知 K 亦是 F( \alpha ) 的分裂域，考虑映射 \sigma :F( \alpha )\rightarrow F( \beta ) 保持 F 的情况下将 \alpha 映到 \beta，根据命题 2.5 可知存在映射 \tilde{\sigma } 保持 \sigma 下将 K 映到 K，而 \sigma 是 F-自同构所以 \tilde{\sigma } 也是，但 \beta \in \tilde{\sigma }( E) 所以 \tilde{\sigma }( E) \neq E，矛盾。

  1. 设 E,K 是有限扩张 L/F 的两个中间域，证明：如果 E/F 和 K/F 都正规，则 E\cap K/F 和 EK/F 也都正规。
$EK$：设 $E,K$ 分别是 $f( x) ,g( x) \in F[ x]$ 在 $F$ 上的分裂域，可知 $EK$ 是 $f( x) g( x)$ 在 $F$ 上的分裂域。 7. 设 $E,K$ 是有限扩张 $L/F$ 的两个中间域，证明：如果 $K/F$ 正规，那么 $EK/E$ 正规。 由 $K/F$ 正规可知 $K$ 是 $f( x) \in F[ x]$ 在 $F$ 上的分裂域，设生成元集合为 $\alpha _{1} ,\dotsc ,\alpha _{n}$，那么 $E( \alpha _{1} ,\dotsc ,\alpha _{n}) =EK$ 就是 $f( x)$ 在 $E$ 上的分裂域。 8. $K/E,E/F$ 都是正规扩张，问 $K/F$ 是否正规？ 考虑 $\mathbb{Q}\left( 2^{1/4}\right) /\mathbb{Q}\left( 2^{1/2}\right) /\mathbb{Q}$，分别是 $x^{2} -2^{1/2} ,x^{2} -2$ 的分裂域，但 $\mathbb{Q}\left( 2^{1/4}\right) /\mathbb{Q}$ 不正规，因为 $x^{4} -2$ 还有 $\pm 2^{1/4}\mathrm{i}$ 不在其中。 10. 证明 $f( x) =x^{2} +1$ 和 $g( x) =x^{2} -x-1$ 都在 $\mathrm{GF}( 3)[ x]$ 中不可约。以 $\alpha ,\beta$ 分别记 $f( x)$ 和 $g( x)$ 在 $\mathrm{GF}\left( 3^{2}\right)$ 中的一个零点，给出 $\mathrm{GF}( 3)( \alpha )$ 到 $\mathrm{GF}( 3)( \beta )$ 的一个同构映射。 由于是二次多项式，带入 $0,1,2$ 均不为 $0$ 可知不可约。 取 $\sigma :\alpha \mapsto \beta +1$ 即可。 11. 证明 $\mathrm{GF}\left( p^{m}\right) \subseteq \mathrm{GF}\left( p^{n}\right)$ 当且仅当 $m\mid n$。 充分性：若 $\alpha ^{p^{m}} =\alpha$，那么 $\alpha ^{p^{2m}} =\left( \alpha ^{p^{m}}\right)^{p^{m}} =\alpha ^{p^{m}} =\alpha$，根据整除性得到 $\alpha ^{p^{n}} =\alpha$，因此 $\mathrm{GF}\left( p^{n}\right)$ 是 $x^{p^{m}} -x$ 的分裂域，也就有 $\subseteq$。 必要性：$\alpha ^{p^{m}} =\alpha$ 有 $p^{m}$ 个互不相同的解，说明在乘法群中 $\alpha ^{p^{m} -1} =1$ 有 $p^{m} -1$ 个互不相同的解，也就说明 $p^{m} -1\mid p^{n} -1\Leftrightarrow \gcd\left( p^{m} -1,p^{n} -1\right) =p^{m} -1\Leftrightarrow p^{\gcd( n,m)} -1=p^{m} -1\Leftrightarrow m=\gcd( n,m) \Leftrightarrow m\mid n$。 （一个更代数风格的证明是 $\left[\mathrm{GF}\left( p^{m}\right) :\mathrm{GF}( p)\right] \mid \left[\mathrm{GF}\left( p^{n}\right) :\mathrm{GF}( p)\right]$）。 13. 设 $f( x)$ 为 $\mathrm{GF}( p)[ x]$ 中的 $m$ 次不可约多项式，证明 $f( x) \mid x^{p^{n}} -x$ 当且仅当 $m\mid n$。 设分裂域为 $F$，考虑下述关系，$F\cong \mathrm{GF}\left( p^{m}\right) \subseteq \mathrm{GF}\left( p^{n}\right)$。 必要性：$\subseteq \Rightarrow \mid$。 充分性：$\subseteq \Leftarrow \mid$。