沃利斯乘积

fengxiangyang · 2025-06-20 20:22:09 · 算法·理论

今天我们来证明一个美妙的公式：

好，现在开始证明！！！

我们可以先造出sin(x)的连乘式：

众所周知

当然-------------------

Asin(x)=\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot(x+2\pi)(x+\pi)x(x-\pi)(x-2\pi)\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot \应用平方差公式 \Asin(x)=x(x^2-\pi^2)(x^2-2^2\pi^2)\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\移项\\ \cfrac{\sin(x)}x=\cfrac{(x^2-\pi^2)(x^2-2^2\pi^2)\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot}A \取极限 \\lim{x\rarr0}\cfrac{\sin(x)}x=\lim{x\rarr0}\cfrac{(x^2-\pi^2)(x^2-2^2\pi^2)\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot}A \众所周知\lim_{x\rarr0}\cfrac{\sin(x)}x=1 \所以A=(x^2-\pi^2)(x^2-2^2\pi^2)\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot在x=0时的值 \=(-\pi^2)(-2^2\pi^2)\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot \带入\\cfrac{\sin(x)}x=\cfrac{(x^2-\pi^2)(x^2-2^2\pi^2)\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot}{(-\pi^2)(-2^2\pi^2)\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot}\一一对应\\cfrac{\sin(x)}x=(1-\cfrac {x^2}{\pi^2})(1-\cfrac {x^2}{2^2\pi^2})\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\应用平方差公式 \\cfrac{\sin(x)}x=(1-\cfrac x{\pi})(1+\cfrac x{\pi})(1-\cfrac x{2\pi})(1+\cfrac x{2\pi})\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot \代入x=\cfrac\pi2并取倒数 \\cfrac\pi2=\cfrac2 1\sdot\cfrac2 3\sdot\cfrac4 3\sdot\cfrac4 5\sdot\cfrac6 5\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot\sdot