如何快速的收敛 π
adorablE_buttErfly
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算法·理论
可以满足 |\pi-\pi_n|=e^{O(n^{16})}，比较牛。
a_0=\frac{1}{3}\\s_1=\sqrt{2}-1\\r_n=(1-s_n^4)^{\frac{1}{4}}\\t_n=1+r_n\\u_n=(8r_n(1+r_n^2))^{\frac{1}{4}}\\m_n=(\frac{1+s_n}{t_n})^4\\l_n=\frac{1}{t_n^4}\\a_n=16m_na_{n-1}+\frac{4^{2n-1}}{3}(1-12l_n-4m_n)\\\pi_n=\frac{1}{a_n}\\s_{n+1}=\frac{1-r_n^4}{(t_n+u_n)^2(t_n^2+u_n^2)}
稍微算几项。
\pi_1\approx3.1415926487742
由于严重的浮点误差，我手头没有任何能算出来 \pi_2 的工具。原因是 r_2 会被直接舍入为 1。但可以猜测的是 \pi_2 有超过一万甚至十万的位和 \pi 符合。