几何之敌—作图

ZzqAndy0728 · 2025-06-21 20:37:01 · 学习·文化课

作图题通常是同学们大脑宕机的转折点。想不到怎么做？这次，就带你理清大考中出现的一些作图题，并找出它们之间的关联，从而做到举一反三，轻松秒杀作图题。

单规作图

圆规能做的实在有限。划弧，截长，相交。仅仅只能做这三点。而单规作图要做的，就是利用这三点，画出求作的图形。

单规作平行

单规作矩形

样题：如图，直线l上方有一点A。仅利用圆规作图。

$(2)$作点$B$、$C$、$D$，使四边形$ABCD$为矩形。 

题目内容很强劲，读完大脑未响应。

第一题，简单，只要学过四边形：

第二题，……说实话我第一眼看到这道题的时候也懵了。
矩形？什么要求也没有？单规也做不出矩形啊！

此时，我们就要灵活运用那条l。

“没有无缘无故的爱，也没有无缘无故的恨，更没有无缘无故的第一小问。”——吴岳衡传世名言

那我们就保持AB\parallel l不变吧，正好B可以用作一个顶点。

等等！既然A、B都出来了，那岂不是要保证AC⊥AB或者AC⊥BC了？这该怎么办啊！
此时你就应该想到，要做垂直，就要…… 哦哦哦！单规作图恰好能作出一个C点使得AC⊥AB！
那么接下来，就顺理成章了吧？ 注：为了字母对应，这里把C、D对应。

单规作图的题目实在太少了，要么就要用圆和相似……这道题目可以说是初二单规作图出得最好的一道题。单规没有什么普遍规律可以总结，引理也很散，因此一般较难。初三学习了圆和相似以后，单规作图会变得更难。

***凡是尺规作图能够做出的点，仅使用一把圆规均可做出。而尺规作图的本质就是做出特定点，由此得出，尺规作图与单规作图等价。*** 这一结论被后人称为“摩尔—马歇罗尼定理”。 # 单尺作图 单尺作图分为：**有刻度直尺作图**和**无刻度直尺作图**。在以后的标题中，它们分别以$G(graduated)$和$U(ungraduated)$呈现。 ## （$G$）单尺作平行 方老师特供。 

首先看到平行，你应该想到，你可以用什么方法构造平行。这和我们常规的说法，即画出效果图—反推或削弱条件—作图是不一样的，因为对这道题目来说，画出效果图并不能帮到你什么。

显而易见，在你现在的学习范围内，有且只有四样东西可以构造平行：

1. 平行四边形；
2. 中位线；
3. 平行—中点—八字全等；
4. 三线八角。

你可以立刻排除的是选项4，因为它仅和角有关，并且用单尺是做不出任何有条件的角的。
你第二个可以排除的是选项1，因为构造平行四边形只能做两组对应边相等。（对角线除外，那和选项3重复。）而你无法保证做出来的两组对应边的末端恰好重合。
留给你的只有中位线和平行—中点—八字全等。事实上，这两种方法都可以。

我首先想到的其实是正A字相似，但中位线其实是相似的一种特殊情况。 另外一种方法其实只是把中位线向内凹了一下。

硬广：

更多关于单尺作图的详细信息，请咨询贝爷（吴岳衡）。

尺规作图

在尺规作图界有一个广为流传的法则，叫“尺规五大基本作图”。我曾经在提优班的讲义上详细了解过，得以在此献给各位读者。

尺规五大基本作图

它们分别是：

复制线段

复制角

作角平分线

作垂直平分线（中垂线）

作垂线

当年，这号称是任何的尺规作图题都可以拆分成五种基本作图。不过在我看来，那只能是较为简单的尺规作图的解法。看看历年来中考以及期末统考的尺规作图题目，就可以感受到下面这句话的正确性。

尺规作图没有下限，更没有上限。

2025—南京

过直线外一点作已知直线的平行线。

好像也是哦，作平行线确实不是基本作图🤣。
根据两直线平行，内错角相等解答即可。 也可另辟蹊径，使用平行四边形相关知识作答。依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形和平行四边形的对边平行。 简洁凝练，不拖泥带水。说实话，如果那两条虚线不连，改卷老师就会后悔没让考生写必要的文字说明。

因此，我们似乎可以从这道题中看出，尺规作图在出题人眼中的影响力在逐渐下滑。不过我们不能妄下定论，毕竟2026届中考可就不好说了……

2024—南京

这道题应该已经十分熟悉了吧，我们先把常规方法展示一下。

 $(2)$受第$(1)$小问启发，**方法1**使用$十字架模型$相等—垂直的结论解题。（这里没有使用相等→垂直是因为有情况存在，$EF=GH_1$但不垂直。）  如图，直线$l$即为所求。 网上还有**作圆法**作为**方法2**，可惜我不会，大多数人也不会，因此我闭口不谈。

不过！我说还有第三种方法，你信吗？

第三种方法需要思路转一转。首先，十字架模型的根本是不是作出垂直？那作出垂直还有什么方法呢？
正方形内两条边既相等又垂直，那么它的……

中点四边形就是正方形。

漂亮，我们又想出了一种混分的方法。

实现也很简单，连接三个顶点，作正方形（即为四边形PQRT的中点四边形），然后把四边形PQRT补全即可。作图痕迹如图。 怎么样，辅助线都画好了，中间的蓝色四边形是正方形。其实就是变相作了个垂直必相等。

我们得出结论，至少对于这类题目来说，熟练掌握模型十分重要。

2023年南京没考尺规作图。

2022—南京（这考了个啥？）

在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称。例如：如图1，先将\triangle ABC以点A为位似中心缩小，得到\triangle ADE，再将\triangle ADE沿过点A的直线l翻折，得到\triangle AFG，则\triangle ABC和\triangle AFG成自位似轴对称。


什么？位似？我不会啊。
若两个相似的图形对应点连线所在直线交于同一点，则称这两个图形位似（homothetic）；这个点称为两个图形的位似中心（homothetic\ centre）。

什么？相似？我不会啊。

如果到这里你还没有放弃，那么恭喜你，打败了……一大部分同学。当然，如果你觉得相似太难了，那当然没问题，可以跳过此题，在预习或学习完后再看看。

要解此题，需要用到的重要模型是正A字相似。当然，这个是校内必背模型之一，又称平行出相似。（对！就是期末考试T16😂！）

如果你已经熟悉该模型，请移步至下一个分割线处。

免责声明：以后的\sim符号，一律读作相似于。该符号在不同数学领域和地域有不同写法，我国规定相似于写作∽，而有其它地区写作\sim。很遗憾的是，LaTeX公式（这是主播写文稿用的公式语言，不必了解）只为相似于符号保留了\sim写法，在此感到抱歉。类似地，以后全等于符号写作\cong，规范写法是≌！

再次声明：相似于符号写作∽或∽；全等于符号写作≌或≌！

如图，\triangle ABC\sim \triangle ADE，D、E分别在AB、AC上，你能否得出某些结论呢？

根据相似图形对应角相等，可以得出\angle ADE=\angle ABC，进而得到DE\parallel BC。
同时，根据相似图形对应边成比例，可得\frac {AD} {AB}=\frac {AE} {AC}=\frac {DE} {BC}。

三个条件，知一推二。
对于第三个条件，知AD,AE和AB,AC成比例，可推其二。知其它两种组合成比例则不可。

证明：（选阅自取）

根据$相似图形对应边成比例，对应角相等$证明即可。 $(2)$已知$DE\parallel BC$，求证$\triangle ABC\sim \triangle ADE$和$\frac {AD} {AB}=\frac {AE} {AC}=\frac {DE} {BC}$。 $$\because DE\parallel BC$$ $$\therefore \angle ADE=\angle B, \angle AED=\angle C$$ $$又\because \angle A=\angle A$$ $$\therefore \triangle ABC\sim \triangle ADE\ (AA)$$ 这里的$AA$是三角形相似的条件，你可以理解为，三个角都相等的两个三角形相似，这很合理吧？ $$\therefore \frac {AD} {AB}=\frac {AE} {AC}=\frac {DE} {BC}$$ $(3)$已知$\frac {AD} {AB}=\frac {AE} {AC}$，求证$\triangle ABC\sim \triangle ADE$和$DE\parallel BC$。 $$\because \frac {AD} {AB}=\frac {AE} {AC}, \angle A=\angle A$$ $$\therefore \triangle ABC\sim \triangle ADE\ (SAS)$$ 类比全等，就可得到相似的另一种证明方法：$SAS$。 接下来，我们对不成立的两种情况举反例。 首先，对于$AD,AE$和$DE,BC$成比例，反例如图：  自然地，对于另一种情况，反例即为：  没想到吧，在哪儿都能碰见$SSA$。 你猜为什么我把三角形歪了一下？这就是因为在我刚刚画的那个条件下，$\angle A>\angle D$，$SSA$是成立的。（你没有忘记八年级上学期第二周周测的最后一题的最后一空吧？就是$\angle B>\angle A或\angle B+\angle C=90\degree$）

这模型还有个奇妙之处，就是过A点作任意一条直线交DE、BC于F、G，则又分辟出两个小A字，容易发现同样适用上述的结论。

话休叙繁。且说那正A字模型为解此题之高妙处，何以见哉？观察题目给出的图1。

这题目中的\triangle ABC与\triangle ADE，说是位似，岂不就是相似出平行么？再回到我们做尺规作图的三步走，即：

先把效果图画出来。 我1秒钟就画好了。
第二步，反推。

很显然，\triangle AFG和\triangle ADE关于l对称，而此题关键就是作出\triangle AFG和l。
根据轴对称的性质，连EG交l于点H，有AE=AG。因为l垂直平分EG，所以\angle EAH=\angle GAH。
因此，关键就是作\angle EAC的平分线，即为l。

总感觉少了点什么……哦，少了个Q点，补上。