高等数学初步

xujindong_ · 2025-11-18 15:48:48 · 个人记录

极限

我们先来定义数列的极限。感性理解，极限是指这个数列越往后，值会越靠近某个值 a，且这个靠近可以无限接近，我们将其描述为对于任意一个距离 \varepsilon 都可以比它更小，且在某个点之后都满足距离比 \varepsilon 小。因此可以定义：

数列的极限：设 x_n 为一数列，如果存在常数 a 使得对于任意正数 \varepsilon，总存在正整数 N 使得当 n>N，|x_n-a|<\varepsilon，称数列 x_n 收敛于 a，记作 \lim_{n\to\infty}x_n=a。若不存在，称数列 x_n 发散。

类似地，我们可以定义函数的极限。先定义趋于有限值的极限，这要求函数在不断接近一个 x_0 处时，值能无限接近极限：

自变量趋于有限值时函数的极限：若存在常数 A 使得对于任意正数 \varepsilon，总存在正数 \delta，使得当 0<|x-x_0|<\delta，满足 |f(x)-A|<\varepsilon，那么称常数 A 是函数 f(x) 当 x\to x_0 时的极限，记作 \lim_{x\to x_0}f(x)=A。

注意，函数在 x_0 处可以未定义，只需要在周围有定义，或者说是某个去心邻域。邻域 U(x_0,\delta)(x_0\in\mathbb R,\delta>0) 为开区间 (x_0-\delta,x_0+\delta)，去心邻域 \mathring U(x_0,\delta)(x_0\in\mathbb R,\delta>0) 为 (x_0-\delta,x_0+\delta)\setminus\{x_0\}。

我们也可以定义左极限和右极限，只从左侧接近或只从右侧接近，将 0<|x-x_0|<\delta 改为 x_0-\delta<x<x_0 或 x_0<x<x_0+\delta，分别记作 \lim_{x\to x_0^-}f(x)=A,\lim_{x\to x_0^+}f(x)=A。极限就是要求左极限和右极限都存在且相等。

我们也可以让函数往两边接近无穷。将 0<|x-x_0|<\delta 改为 |x|>X，其中 X 是某个正数，就得到 \lim_{x\to\infty}f(x) 的定义。同理可以定义 \lim_{x\to+\infty}f(x),\lim_{x\to-\infty}f(x)，改为 x>X 或 x<X 即可。

用极限，我们也可以描述函数趋向于无穷大，将 |f(x)-A|<\varepsilon 改为 |f(x)|>M，其中 M 是任意正数。按上面的定义，f(x) 在 x\to x_0/\infty 时没有极限，但我们仍然称极限是无穷大。此时我们也称 f(x) 是 x\to x_0/\infty 时的无穷大。

对应的，我们已经定义了无穷小，也就是 f(x) 在 x\to x_0/\infty 时极限为 0，称 f(x) 是 x\to x_0/\infty 时的无穷小。显然在同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，无穷小（不为 0）的倒数是无穷大。

极限有以下运算法则，以下性质是显然的：

• 两个无穷小的和是无穷小；
• 有界函数与无穷小的乘积是无穷小；

对数列的极限类似。

对函数的复合，也可以找到规律：若 (f\circ g)(x) 在 x_0 的某去心邻域有定义， \lim_{x\to x_0/\infty}g(x)=u_0/\infty,\lim_{u\to u_0/\infty}f(u)=A，且存在 x_0 的某去心邻域的 g(x) 都不等于 u_0，则 \lim_{x\to x_0/\infty}(f\circ g)(x)=A。这说的其实就是将 g(x) 放到自变量上，也是一个向 u_0 的逼近。后面的一句特判是防止 x 周围形成一个平台，比如 f(x)=[x=1],g(x)=1，这样 g(x) 无法在 x_0 周围形成一个向 u_0 的逼近，因为取到 u_0。

下面讲述极限存在的一些准则：

夹逼准则：若在 x_0 的某去心邻域内或 |x|>M 时 g(x)\leq f(x)\leq h(x)，且 \lim_{x\to x_0/\infty}g(x)=\lim_{x\to x_0/\infty}h(x)=A，则 \lim_{x\to x_0/\infty}f(x)=A。

容易感性理解。对数列类似。

一个经典例子是 \lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1。如下图，我们有一个单位元和一个圆心角 \angle AOC=x(0<x<\frac\pi2)，有 S_{\triangle AOB}<S_{\text{扇形}AOB}<S_{\triangle AOC}，即 \frac{\sin x}2<\frac x2<\frac{\tan x}2,\cos x<\frac{\sin x}x<1，而前后两者在 x\to0 的极限都是 1。

单调有界定理：单调有界数列必有极限。对于函数，若 f(x) 在 x_0 的某个左邻域内单调且有界，则 f(x) 在 x_0 的左极限存在。

感性理解，单调要求往一个方向，但是有界又要求不能超过 \pm M，所以只能无限接近某个位置而不越过。

经典例子是 \lim_{x\to\infty}(1+\frac1x)^x=e。我们先构造 a_n=(1+\frac1n)^n，证明它的极限存在。

首先它单调递增，因为 a_n=\sum_{i=0}^nC_n^i\frac1{n^i}=\sum_{i=0}^n\frac1{i!}\prod_{j=0}^i(1-\frac jn)，每一项都是单调递增的。而且它有界，将其放缩为 \sum_{i=0}^n\frac1{i!}\leq1+\sum_{i=0}^n\frac1{2^i}<3。因此它有极限。对原问题，构造 g(x)=(1+\frac1{\lfloor x\rfloor+1})^{\lfloor x\rfloor},h(x)=(1+\frac1{\lfloor x\rfloor})^{\lfloor x\rfloor+1}，极限都是 e，用夹逼准则即可。

柯西极限存在准则：数列 x_n 收敛的充要条件是对于任意正数 \varepsilon，存在正整数 N 使 \forall n,m>N,|x_n-x_m|<\varepsilon。

必要性显然，设极限是 a，存在 N 使 \forall n>N,|x_n-a|<\frac\varepsilon2。

感性理解充分性，考虑在 N 之后，所有 x_n 会落在一个长度小于 \varepsilon 的区间内，且随着 \varepsilon 的缩小，区间长度也缩小，且趋向 0。因此最后区间内会剩一个单点。上述过程也相当于归约到了闭区间套定理。

对于极限，我们可以定义无穷小之间的比较。

在同一个变化过程中，若 \lim\frac\beta\alpha=0，称 \beta 是比 \alpha 高阶的无穷小，记作 \beta=o(\alpha)；

若 \lim\frac\beta\alpha=\infty，称 \beta 是比 \alpha 低阶的无穷小；

若 \lim\frac\beta\alpha=c\ne0，称 \beta 与 \alpha 是同阶无穷小。特别地，若 c=1，称 \beta 与 \alpha 是等价无穷小，记作 \beta\sim\alpha；

若 \lim\frac\beta{\alpha^k}=c\ne0，称 \beta 是关于 \alpha 的 k 阶无穷小。

关于等价无穷小有以下定理：