指数函数与对数函数交点的探究
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个人记录
2025届T8联考偶见填空14题涉及到了此问题，觉得有必要重新整理以备后续查验。
问题如下：
a^x-\log_a{x} \ \text{在定义域上单调，求} \ a \ \text{的取值范围}
显然 a \neq 1。
考虑画图：
当 a>1 时，根据两者反函数的图像差可知，该函数不可能单调。
当 a<1 时，考虑两者相切为临界条件。
下面考虑求出相切时的 a 的取值。
令
\left\{
\begin{array}{}
a^x=\log_a{x} \\
a^x\ln a=\frac{1}{x\ln a}
\end{array}
\right.
考虑 a>1
x\ln a=\ln(\ln x)-\ln(\frac{1}{x\ln x}) \\
\frac{1}{\ln x}=2\ln(\ln x)+\ln x \\
x=e \\
a=e^{\frac{1}{e}}
考虑 a<1
x\ln a=\ln(-\ln x)-\ln(-\frac{1}{x\ln x}) \\
\frac{1}{\ln x}=2\ln(-\ln x)+\ln x \\
x=-e \\
a=e^{-e}
因此，解为 a\in [e^{-e},1)