「笔记⑦」Hilbert's Nullstellensatz

Tiw_Air_OAO · 2022-10-09 14:48:48 · 个人记录

先看一个最像“零点定理”的形式：

Theorem (弱 Hilbert 零点定理的形式 1). 设 \bar k 是代数闭域，取 \{f_i(x_1,x_2,\dots,x_n)\mid i\in\mathcal I\} 为一族 \bar k^n 上的多项式。

这族多项式有公共零点 \iff 不存在多项式 g_1, g_2,\dots,g_k 以及指标 p_1,p_2,\dots,p_k\in\mathcal I使得 \sum_{i=1}^kg_if_{p_i} = 1。

一族多项式的公共零点，很显然是它们在 n 元多项式环中生成理想的公共零点。

Theorem (弱 Hilbert 零点定理的形式 2). 设 \bar k 是代数闭域，\mathfrak a\in\bar k[x_1,x_2,\dots, x_n] 是理想，则 \mathfrak a\neq (1) 等价于

\bigcap_{f\in\mathfrak a}f^{-1}(0)\neq\varnothing.

注意到赋值映射 \operatorname{ev}_{a_1,a_2,\dots,a_n}\colon \bar k[x_1,x_2,\dots,x_n]\to \bar k 等价于如下商掉极大理想的过程

Theorem (弱 Hilbert 零点定理的形式 3). 设 \bar k 是代数闭域，\mathfrak a\in\bar k[x_1,x_2,\dots, x_n] 是理想，且 \mathfrak a\neq (1)（等价于 \mathfrak a 包含在某个极大理想内），则 \mathfrak a 包含在某个形如

(x_1-a_1,x_2-a_2,\dots,x_n-a_n)

的极大理想内。

特别地，取 \mathfrak a 为极大理想可知任何极大理想都形如 (x_1-a_1,x_2-a_2,\dots,x_n-a_n)。也就是说 \bar k[x_1,x_2,\dots,x_n] 的全体极大理想与 \bar k^n 的全体点存在一一对应。

我们赋予 \bar k^n 一个拓扑（被称为 Zariski 拓扑），其中的闭集为一些多项式零点的交，也即形如 \bigcap_{i\in\mathcal I}f^{-1}_i(0)。

我们赋予 \bar k[x_1,x_2,\dots,x_n] 的全体极大理想（被称为极大理想谱，记作 \mathrm{Max}）一个拓扑（也被称为 Zariski 拓扑），其中的闭集 V(\mathfrak a) = \{\mathfrak m\in\mathrm{Max}\mid\mathfrak a\subseteq\mathfrak m\} 由 \bar k[x_1,x_2,\dots,x_n] 中的某个理想 \mathfrak a 生成。

Corollary. 上文给出的一一对应，在 Zariski 拓扑下是同胚。

现在我们探讨一个名叫 Noetherian 的性质。以下环全是交换幺环！

Definition. 称 A-模 M 是诺特模（Noetherian module），若它的子模满足升链条件：对于任意子模链

M_0\subseteq M_1\subseteq \dots \subseteq M,

都存在某个 n\geq 0 使得 M_n = M_{n + 1} = \dots，也即升链在有限步内停止。

Proposition. A-模 M 是诺特模 \iff M 的任何子模都是有限生成子模。从而诺特模的子模和商模都是诺特模。

Definition. 称环 A 是诺特环（Noetherian ring），若它的理想满足升链条件。换句话说，若 A 的所有理想都是有限生成 A-模。再换句话说，A 作为 A-模是诺特模。

Remark. 诺特环的商环一定诺特，但诺特环的子环不一定。

Remark. 诺特环其实是一类非常广义的环。我们甚至可以假设所有的环都是诺特的，就像我们假设环是交换幺环那样。

为了看出诺特环确实很广义，我们给出如下重要定理：

Theorem (Hilbert's basis theorem). 设 A 是诺特环，则 A[x_1,\dots,x_n] 是诺特环。

Remark. 用类似的办法可证明，形式幂级数环 A[[x_1,\dots,x_n]] 是诺特环。

特别地，诺特环 A 上的有限生成 A-代数 A[x_1,\dots, x_n]/I 也是诺特环。

Lemma. 设 A 是诺特环，C 是有限生成 A-代数，B\subseteq C 是 A-子代数。若 C 是有限生成 B-模，则 B 是有限生成 A-代数。

Proof. 设 C = A[c_1,\dots, c_n]，C = Bc_{n+1}+\dots + Bc_N。将这些 c_k 并起来，得到条件：

C = A[c_1,\dots,c_N] = Bc_1 + \dots Bc_N.

考察“结构常数”c_ic_j = \sum b_{ij,k}c_k。如果设 B_0 = A[b_{ij,k}] 是 B 的有限生成 A-子代数，则

C = B_0c_1 + \dots + B_0c_N.

于是 C 是有限生成 B_0-模，B 是 C 的 B_0-子模。由于 B_0 是诺特环 A 上有限生成代数，从而是诺特环，从而 B 也将成为有限生成 B_0-模，从而 B 也是有限生成 A-代数。\square

Noetherian 在 Hilbert 零点定理中的出现是不可忽视的。利用如上引理可证明：

Theorem (弱 Hilbert 零点定理形式 4，非代数闭域形式). 设 k 是域，E 是有限生成 k-代数。如果 E 是个域，则它是 k 的有限代数扩张。

上面讨论了半天，都是在讨论弱形式。那么一般形式是什么？有的人用代数闭域条件来区分 Hilbert 零点定理弱形式，但我觉得这是不本质的，一般形式论证的应该是有限生成 k-代数条件下素理想与极大理想之间的性态。

故为了介绍一般形式，我们还需要知道素理想 \frak p 的概念，以及如下定理：

Theorem. 设 \sqrt{0} 是全体 A 中幂零元构成的理想，则

\bigcap_{\frak p\text{ is prime ideal}}\mathfrak p = \sqrt{0}.

特别地，设 I\subseteq A 是 A 的理想，记 \sqrt{I} = \operatorname{rad}(I) = \{x\in A\mid\exists n > 0,x^n\in I\}，则

\bigcap_{\mathfrak p\text{ is prime ideal},\mathfrak p\supseteq I}\mathfrak p = \sqrt{I}.

若 \varphi\colon A\to B 是环同态，则 \varphi 将 B 中素理想 \mathfrak p 拉回至 A 中素理想 \varphi^{-1}(\mathfrak p)。

Theorem (Hilbert 零点定理形式 1). 若 \varphi\colon A\to B 是有限生成 k-代数之间的 k-代数同态，则 \varphi 将 B 中极大理想 \mathfrak m 拉回至 A 中极大理想 \varphi^{-1}(\mathfrak m)。

我们刚刚阐述了素理想之交是幂零根，对于极大理想之交 \bigcap\mathfrak m，我们取名字 Jacobson 根，那么

Theorem (Hilbert 零点定理形式 2). 对于有限生成 k-代数，Jacobson 根与幂零根重合，也即

\bigcap_{\frak p\text{ is prime ideal}}\mathfrak p = \bigcap_{\frak m\text{ is maximal ideal}}\frak m.

现在我们来阐述它确实值得被称作“零点定理”。设：

一般来说 I(Z(\mathfrak a))\supseteq\mathfrak a，其中 \mathfrak a 是 k[x_1,\dots,x_n] 的理想。

Theorem (Hilbert 零点定理形式 3). 若 \bar k 是代数闭域，则 I(Z(\mathfrak a)) = \mathrm{rad}(\mathfrak a)。进一步地，\bar k^n 上的 Zariski 闭集与根理想 \sqrt{I} 是一一对应关系。

我们同样可以赋予任意环 A 的全体素理想（被称为素理想谱，记作 \operatorname{Spec} A）一个拓扑（还是被称为 Zariski 拓扑），其中的闭集 V(I) = \{\mathfrak p\in\operatorname{Spec} A\mid I\subseteq\mathfrak p\} 由 A 中的某个理想 I 生成。同样可设

这个形式的 Hilbert 零点定理和素理想的联系，将由如下 trivial 命题阐述

Proposition (naive 版本的 Hilbert 零点定理). 素理想谱 \operatorname{Spec}A 中的闭集，与全体根理想 \sqrt{I} 由如上的 V(I) 与 I(V) 给出一一对应关系。

Remark. 之所以说其是 trivial 的，因为它就是普通的验证 :(。