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小木虫
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个人记录
设
S_k=\sum_{i=1}^k b_i^2\quad(k\ge1),\qquad b_1=b_2=1.
原递推式（对 n\ge3）：
\frac{1}{b_n}=b_{n-2}\Big(\frac{1}{S_{n-2}}-\frac{1}{S_{n-1}}\Big)
=\;b_{n-2}\frac{S_{n-1}-S_{n-2}}{S_{n-2}S_{n-1}}
=b_{n-2}\frac{b_{n-1}^2}{S_{n-2}S_{n-1}}.
两边同乘以 S_{n-2}S_{n-1}b_n 得（对所有适用的 n）：
{\,S_{\,n-2}S_{\,n-1}=b_n\,b_{n-2}\,b_{n-1}^2. }
把上式中的下标整体加 1（这仍然是同一类恒等式，只是下标平移），得到（对所有适用的 n）
{\,S_{\,n-1}S_{\,n}=b_{n+1}\,b_{n-1}\,b_{n}^2. }
现在定义一个便于观察的量
T_n:=\frac{S_n}{b_n b_{n+1}}\qquad(n\ge1).
可解出 S_n：
S_n=\frac{b_{n+1}b_{n-1}b_n^2}{S_{n-1}}.
把这个表达代入 T_n：
T_n=\frac{S_n}{b_n b_{n+1}}
=\frac{b_{n+1}b_{n-1}b_n^2}{S_{n-1}\,b_n b_{n+1}}
=\frac{b_n b_{n-1}}{S_{n-1}}.
而 T_{n-1}=\dfrac{S_{n-1}}{b_{n-1}b_n}。因此对任意适用的 n 恒成立
{{T_n\cdot T_{n-1}=1. }}
注意 T_1 可直接计算：S_1=b_1^2=1，且 b_1b_2=1，所以
T_1=\frac{S_1}{b_1b_2}=1.
得 T_2=\dfrac{1}{T_1}=1。得 T_3=\dfrac{1}{T_2}=1，以此类推（不作“归纳假设”，而是直接观察到关系 T_n=1/T_{n-1} 与初值 T_1=1 联合立刻给出奇偶项的显式表达：T_{2k-1}=T_1=1, T_{2k}=1/T_1=1），因此对所有 n
{\,T_n=1. }
即
{\,S_n=b_n b_{n+1}\quad(\forall n\ge1). }
立刻得到线性递推。因为
b_n^2=S_n-S_{n-1}=b_n b_{n+1}-b_{n-1}b_n=b_n(b_{n+1}-b_{n-1}),
两边除以非零的 b_n（由初值各项为正可保证非零），得
{\,b_{n+1}=b_n+b_{n-1}\quad(\forall n\ge2). }
连同初值 b_1=b_2=1，这就是斐波那契数列的定义。因此
{\,b_n=F_n\ (F_1=F_2=1,\ F_{n+1}=F_n+F_{n-1}).}