浅谈数论基础知识

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0 前言

$2023.9.17\;14:02$ 更新了欧拉定理、费马小定理。 想必大家肯定已经在小学或者初中接触过基础的数论，本文将介绍高中所学的数论。 **参考书籍**：初等数论，陈永高，科学出版社。 **参考文章**：[这个](https://zhuanlan.zhihu.com/p/70997631)，[和这个](https://blog.csdn.net/weixin_43145361/article/details/107083879) ### 1 整除 * 定义 若有两个整数 $a,b(b≠0)$，存在一个数 $x$，使得 $$a=bx$$ 则称 $a$ 是 $b$ 的倍数，$b$ 能整除 $a$，记作 $b|a$。 * 性质 * 若 $a|b,b|c$，则 $a|c$。 * 若 $a|b$，对于任何一个不是 $0$ 的整数 $x$，都有 $ax|bx$。 * 若有整数数列 $a$ 满足 $m|a_1,m|a_2,...,m|a_n$，那么对于另一个整数数列 $b$，都有 $$m|k_1a_1+...+k_na_n$$ * 若 $a|b(b≠0)$，则 $|a|≤|b|$。 * 定理 * 带余除法定理：若有两个整数 $a,b(a≠0)$，则存在**唯一**的两个整数 $x,y$，使得 $$b=ax+y(0≤y<|a|)$$ 其实这个式子意思就是，$b$ 除以 $a$ 的商是 $x$、余数是 $y$。 ### 2 素数 * 定义 对于一个大于等于 $2$ 的正整数 $n$，如果 $n$ 只会被 $1$ 和 $n$ 整除，那么称 $n$ 为素数。 * 性质 * 若对于任意一个素数 $n$，有一整数数列 $a$ 使得 $n|a_1a_2...a_m$，那么 $n$ 至少满足 $n|a_1,n|a_2,n|a_3,...,n|a_m$ 中任意一个。 * 任何一个大于等于 $2$ 的正整数 $n$，都有一个素因数。 * 素数有无限个 * 定理 * 算术基本定理（唯一分解定理）：若有一个素数数列 $a$（$a$ 数列的数递增）以及一个正整数列 $x$，对于任何的大于等于 $2$ 的正整数 $n$，都可以表示成唯一的 $$n={a_1}^{x_1}{a_2}^{x_2}...{a_m}^{x_m}$$ ### 3 同余 * 定义 若有两个整数 $a,b$，对于一个正整数 $m$ 满足 $a,b$ 除以 $m$ 的余数相同，那么我们称 $a,b$ 模 $m$ 同余，记作 $a \equiv b\pmod m$。 * 性质 * 若 $a \equiv b\pmod m$，则 $b \equiv a\pmod m$。 * 若 $a \equiv b\pmod m,b \equiv c\pmod m$，则 $a \equiv c\pmod m$。 * 若 $a \equiv b\pmod m$，则对于任意正整数 $n$，都有 $a+n \equiv b+n\pmod m,a-n \equiv b-n\pmod m,an \equiv bn\pmod m

4 阶与原根

这块好像比较难。