浅谈平面斜角坐标系
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前言
本文主要探讨平面斜角坐标系在初中几何中的应用。
平面斜角坐标系，也即斜坐标系，平面仿射坐标系等。一般来说，初中数学使用平面斜角坐标系，常用来解决平行四边形相关问题。
因为是初中，本文不涉及高中向量。其实是本蒟蒻太蒻
定义
平面斜角坐标系是以平面中两条不共线的直线为 x 轴，y 轴，建立平面坐标系。
一些定义：
- 原点：x 轴与 y 轴的交点。下文中用 O 表示。
- 斜角：x 轴与 y 轴的夹角。下文中用 \theta 表示。
对于平面内一点 P，过 P 引两条 x 轴与 y 轴的平行线，分别交其与点 P_{x}, P_{y}，并令这两点与 O 的距离为 d_{x}, d_{y}，则 P(d_{y}, d_{x})。
实际上，四边形 OP_{x}PP_{y} 是平行四边形。
直线
由于线性变换，直线解析式仍然是 y=kx+b。
## 坐标轴角平分线
如果令一个点 $P$ 的 $x,y$ 坐标都相等，可知四边形 $OP_{x}PP_{y}$ 是菱形。根据菱形对角线平分一组对角，$OP$ 即为一条角平分线。
这就是说：**坐标轴角平分线的解析式是 $y=x$。**
## 坐标轴垂线
先推一下与 $y$ 轴垂直的直线的 $k$。
考虑过原点 $O$ 的一条 $y$ 轴垂线，不过原点的可以平移。
根据坐标变换公式 $(x+\cos \theta \times y, \sin \theta \times y)$，易得 $k = -\cos \theta$。
同理，与 $x$ 轴垂直的直线的 $k=-\dfrac{1}{\cos \theta}=-\sec \theta$。
# 一些运算公式
## 中点坐标公式
由于平面斜角坐标系是对平面直角坐标系的线性变换，故中点坐标公式仍然成立。这就是说：
若 $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$，则其中点 $M(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$。
我们也可以用平行四边形对角线相互平分来证明。
## 两点间距离公式
若 $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$，令 $\Delta x = |x_1-x_2|, \Delta y = |y_1-y_2|$。
如图所示，容易证明 $\angle CAD = \theta, AD = \Delta x, AC = \Delta y$，四边形 $CADB$ 是平行四边形。
在 $\triangle CAB$ 中，由余弦定理得
$AB=\sqrt{{\Delta x}^2+{\Delta y}^2-2 \Delta x \Delta y \cos (180 \degree - \theta)}=\sqrt{{\Delta x}^2+{\Delta y}^2+2 \Delta x \Delta y \cos \theta}$。
## 坐标变换公式
这是进行更多研究的基础。
作一条与 $y$ 轴垂直于点 $O$ 的直线 $x'$，即建一个平面直角坐标系。
设 $A$ 点在平面斜角坐标系中的坐标为 $(x,y)$，过 $A$ 引一堆平行线和垂线，如图：
可知 $x'=OE=OC+CE=x+AC \times \cos \theta = x+\cos \theta \times y, y'=AE=AC\times \sin \theta = \sin \theta \times y$。
即：**$(x,y)$ 的对应点为 $(x+\cos \theta \times y, \sin \theta \times y)$。**
事实上，对于 $y=f(x)$，可以转化为 $y=\dfrac{f(x+\cos \theta \times y)}{\sin \theta}$。
## 点到直线距离公式
全部转换到直角坐标系中。
设直线 $y=kx+b$，则直角坐标系中的表达式为 $\sin\theta \times y'=k (x'+\cos \theta \times y')+b$，整理有 $y'=\dfrac{kx'+b}{\sin\theta -k\cos \theta}$。
设点为 $(x,y)$，转换后坐标为 $(x+\cos \theta \times y, \sin \theta \times y)$。
应用直角坐标系中的公式：
$$
\begin{aligned}
d&=\dfrac{|k'x'+b'-y'|}{\sqrt{{k'}^2+1}}\\
&=\dfrac{|\dfrac{k(x+\cos \theta \times y)}{\sin\theta -k\cos \theta} +\dfrac{b}{\sin\theta -k\cos \theta}-\sin \theta \times y|}{\sqrt{({\dfrac{k}{\sin\theta -k\cos \theta}})^2+1}}\\
&=\dfrac{|\dfrac{kx+k\cos \theta \times y+b}{\sin\theta -k\cos \theta}-\sin \theta \times y|}{\sqrt{{\dfrac{k^2}{(\sin\theta -k\cos \theta)^2}}+1}}\\
&=\dfrac{|\dfrac{kx+k\cos \theta \times y+b-sin^2 \theta \times y +k\sin \theta \cos \theta \times y
}{\sin\theta -k\cos \theta}|}{\sqrt{{\dfrac{k^2}{(\sin\theta -k\cos \theta)^2}}+1}}\\
&=\dfrac{|{kx+k\cos \theta \times y+b-sin^2 \theta \times y +k\sin \theta \cos \theta \times y}|}{\sqrt{({\sin\theta -k\cos \theta})^2{\dfrac{k^2}{(\sin\theta -k\cos \theta)^2}}+1}}\\
&=\dfrac{|{kx+k\cos \theta \times y+b-sin^2 \theta \times y +k\sin \theta \cos \theta \times y}|}{\sqrt{k^2+1}}\\
&=\dfrac{|{kx+b+y(k\cos \theta-sin^2 \theta +k\sin \theta \cos \theta)}|}{\sqrt{k^2+1}}\\
\end{aligned}
$$
# 几何公式
## 中点坐标公式
若 $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$，则其中点 $M(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$。
## 两点间距离公式
若 $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$，令 $\Delta x = x_1-x_2, \Delta y = y_1-y_2$。
（下面只讨论 $\Delta x, \Delta y > 0$ 的情况，其他情况同理）
如图所示，容易证明 $\angle CAD = \theta, AD = \Delta x, AC = \Delta y$，四边形 $CADB$ 是平行四边形。
在 $\triangle CAB$ 中，由余弦定理得
$AB=\sqrt{{\Delta x}^2+{\Delta y}^2-2 \Delta x \Delta y \cos (180 \degree - \theta)}=\sqrt{{\Delta x}^2+{\Delta y}^2+2 \Delta x \Delta y \cos \theta}$。