牛顿迭代求解方程
laoxiaobai233 · · 个人记录
什么是牛顿迭代法？
牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。----百度百科。
为什么要用牛顿迭代？
五次及以上多项式方程没有根式解（就是没有像二次方程那样的万能公式），这个是被伽罗瓦用群论做出的最著名的结论。没有公式就意味着解不出来，但我们又要求方程的解怎么办？这时牛顿迭代就是求这种没有公式解法的方程的数学方法之一。
概念引入
- - - 切线是曲线的线性逼近。
什么意思？（我懒得画图，但我还是画了）
这是一个y=x^2的曲线函数
我们随便选一点f(x)上的一点(a,f(a))做它的切线
此时我们无限放大A点，是不是这部分的切线就无限接近于f(x)?
但由于切线是一条直线，所以我们说这条切线是曲线函数的线性逼近，所以离A点越近，则误差越小。
牛顿迭代的几何视觉
牛顿迭代的思路就是用切线是曲线的线性逼近这个思想。
你想线性函数研究多简单，既然切线近似于曲线，那我们直接研究切线的根不好了？介绍下什么是切线的根（就是与x轴的交点）
随便找一个点，做它的切线。不要问我为什么随便找，因为你不知道根在哪，所以你只能随便找。
现在是第一次迭代 如下图（这图不是我画的，网上找的，画不动）
这时我们离原曲线函数的根还有点远，那我们怎么继续迭代呢？再随便找个点吗？当然不是，不然你就没意义的。我们过原切线的根，做垂直x轴的直线，相交于曲线函数一点，再过这个点做曲线函数的切线。
这时我们的根还是有点远，所以我们继续迭代几次。
第三次迭代：
第四次迭代 此时就已经非常接近原曲线函数的根了
所以你迭代的次数越多，就会越接近曲线函数的根，这个有个专业术语，叫迭代收敛。
如何求解方程？？
知道了牛顿迭代的原理，那肯定是要用的啊，那如何求解方程呢？
首先，要选择一个初始值x=x0，使得该初始值接近实根的值。然后，迭代计算如下的公式：
xi+1 = xi - f(xi) / f '(xi)
直到xi+1达到一个满意的近似结果为止。在这个公式中，f(x)是要求解的多项式方程，而f '(x)是f(x)的导数
多项式求导
多项式求导是微积分的基础，现在让我们看看多项式求导的公式化描述。
要计算出多项式的求导结果，只需要对多项式的每一项套用如下两个公式：
d/dx k = 0, d/dx kxr = krx r-1
这里的k是为常数，r是有理数，x是未知数。符号d/dx表示求导，其中x是多项式中的变量。
对于多项式中的每一常数项，套用第一个公式；否则，就用第二个公式。假设有如下函数：
f(x) = x3 + 5x2 +3x +4
要得到求导后的结果f '(x)，对该多项式的前三项套用第二个公式，最后一项套用第1个公式，得到结果如下：
f '(x) = 1 3x(3-1) + 5 2x(2-1) + 3 * 1x(1-1) + 0 = 3x2 + 10x +3
如何高阶求导
高阶求导是什么，就是导数的倒数。 比如 f '(x)是f(x)的一阶导数,f''(x)是f（x）的二阶导数,即f''(x)是f'(x)的一阶导数。