代数最值——从感性到理性

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&\color{red}\text{例题：}\\ &\color{black}\text{已知 }x_1,x_2,...,x_{40}\text{ 都是正整数，且 }x_1+x_2+...+x_{40}=58.\\ &\color{black}\text{设 }x_1^2+x_2^2+...+x_{40}^2\text{ 的最大值为 A，最小值为 B，求 A+B 的值}.\\\\ &\color{blue}\text{分析：}\\ &\color{black}\text{因为把 58 写成 40 个正整数之和写法只有有限种，}\\ &\color{black}\text{故 }x_1^2+x_2^2+...+x_{40}^2\text{ 的最小值和最大值是存在的}.\\\\ &\color{green}\text{思路：}\\ &\color{black}\text{显而易见地，两个和一定的数，差越大（即较大的数越大），两个数的平方和就越大}.\\ &\color{black}\text{这一点我们可以通过感性地尝试小数据得出}.\\ &\color{black}\text{可以猜想要使原式最大，其中一个数应尽量大，其他尽量小——最小取 1.}\\ &\color{black}\text{同理，猜想要使原式最小，每个数应该尽量接近，即两两的差最小}.\\\\ &\color{purple}\text{解题：}\\ &\color{black}\text{不妨设 }x_1\le x_2\le ...\le x_{40}\text{ 能够求出最大值 A，若 }x_1\gt 1\text{ 则 }x_1+x_2=(x_1-1)+(x_2+1)\\ &\color{black}\text{且 }(x_1-1)^2+(x_2+1)^2=x_1^2+x_2^2+2\cdot(x_2-x_1)+2\gt x_1^2+x_2^2.\\ &\color{black}\text{与 }x_1\le x_2\le ...\le x_{40}\text{ 能够求出最大值 A 矛盾，所以 }x_1=1.\\ &\color{black}\text{同理： }x_2=x_3=...=x_{39}=1\text{ , }x_{40}=19\text{ . }A=39\cdot 1^2+19^2=400.\\\\ &\color{black}\text{同样地，设 }x_1\le x_2\le ...\le x_{40}\text{ 能够求出最小值 B，}\\ &\color{black}\text{若存在 }x_i-x_j\gt 1\ \ (1\le i,j\le 40)\text{ 则 }x_i+x_j=(x_i-1)+(x_j+1)\\ &\color{black}\text{且 }(x_i-1)^2+(x_j+1)^2=x_i^2+x_j^2-2\cdot(x_i-x_j)+2\lt x_i^2+x_j^2.\\ &\color{black}\text{与 }x_1\le x_2\le ...\le x_{40}\text{ 能够求出最小值 B 矛盾，}\\ &\color{black}\text{所以对于任意 }i,j\ \ (1\le i,j\le 40)\text{ 有 }x_i-x_j\le 1.\\ &\color{black}\text{所以 }x_1=x_2=...=x_{22}=1\ ,\ x_{23}=x_{24}=...=x_{40}=2\text{ 满足条件}.\\ &\color{black}B=22\cdot 1^2+18\cdot 2^2=94\ ,\ A+B=400+94=494.\\\\ &\color{brown}\text{总结}\\ &\color{black}\text{解题时不妨从感性入手寻找思路，再用反证法证明自己的猜想，效果超级棒。} \end{aligned}