矩阵学习笔记
矩阵
注意，本文部分内容涉及到向量，特征值，复数，张量积，余子式，基础导数以及基础线性代数，如果不会请自行百度（逃
1.矩阵的定义
在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。
由 m n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m n矩阵。
记做
这m n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数位于矩阵A的第 i 行第 j 列，称为矩阵 A 的 (i,j) 元，以数为 (i,j) 元的矩阵可记为()或， _mn_ 矩阵 A 也记作 Amn 。
另外，如果 A 与 B 都为 m*n 的矩阵，那么 A 与 B 互为同型矩阵。
另外，1*m 的矩阵又叫向量。
2.矩阵的基本运算
1.矩阵加法
两个矩阵相加，必须满足两个矩阵都为 m*n 的矩阵（即同型矩阵），因为矩阵运算已经不单单只是数与数之间的运算，而是集合与集合之间的运算而集合与集合之间的运算最重要的一点就是两个集合的元素个数必须相等（不然你怎么加）
eg1.
另外，矩阵加法满足以下运算律：
1.交换律
A+B=B+A
2.结合律
(A+B)+C=A+(B+C)
2.矩阵减法
和加法类似，也是必须满足两个矩阵都为同型矩阵（废话）
eg2.
另外，矩阵减法也满足以下运算律（废话）：
1.交换律
A+B=B+A
2.结合律
(A+B)+C=A+(B+C)
3.数乘矩阵
数乘矩阵，顾名思义，用一个数量去乘以一个矩阵,其实就是将这个矩阵的元素大小扩大这个数量倍
eg3.
另外，数乘矩阵满足以下运算律：
1.交换律
a(bA)=b(aA)
2.结合律
a(bA)=(ab)A
3.（左右）分配律
a(A+B)=aA+aB
(a+b)A=aA+bA
以上三点合称矩阵的线性运算
4.转置
将矩阵A的行与列交换所得到的的新矩阵被称为矩阵A的转置矩阵，即
eg.4
另外，转置满足以下规律（因为已经不是运算律了）：
1.
2.
3.（这个涉及到矩阵乘法，建议先看下面的矩阵乘法再看这个）
5.共轭
共轭的定义：
两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）复数z的共轭复数记作（z上加一横，英文中可读作Conjugate z,z conjugate or z bar），有时也可表示为z*。
即
若有
z=a+bi
则有
=a-bi
简单的说就是两个变量互为相反数的的数就互为共轭复数
共轭矩阵：
共轭矩阵又称Hermite矩阵，在共轭矩阵中任意第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等
即
eg.5
若有
则有
6.共轭转置
字面意思，就是先把矩阵转置后，再把每一个数换成它的共轭复数。
即
或写作
eg.6
若有
则有
3.矩阵乘法
1.普通的矩阵乘法
首先
如果要使两个矩阵的相乘有意义，那么第一个矩阵的行数必须等于第二个矩阵的列数，即必须是一个 m*q 的矩阵去乘一个 q*n 的矩阵
定义
设A为 m*q 的矩阵，B为 q*n 的矩阵，那么称 m*n 的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作 C=AB ，其中矩阵C中的第 i 行第 j 列元素可以表示为：
即
并将此乘积记为 C=AB
eg.7
另外，矩阵乘法满足以下运算律：
1.结合律：
(AB)C=A(BC)
a(AB)=(aA)B=A(aB)
2.(左右)分配律
(A+B)C=AC+BC
A(B+C)=AB+AC
2.乘积-哈达马积（Hadamard product）
m*n 的矩阵 A 与 m*n 的矩阵 B 的哈达马积记为 A*B ， A*B 也是一个 m*n 的矩阵，其各个元素的定义为两个矩阵对应元素的乘积
即
eg.8
性质
哈马达积满足以下运算律：
1.交换律
A B=B A
2.结合律
A (B C)=(A B) C
3.左分配律
A (B + C)=A B + A * C
3.乘积-克罗内克乘积（Kronecker product）
m*n 的矩阵 A 与 p*q 的矩阵 B 的克罗内克乘积记为 AB ， AB 是一个 mp*nq 的矩阵，克罗内克乘积也被称为直积或张量积。
可具体的表示为
eg.8
性质
克罗内克乘积满足以下性质：
1.双线性结合律
因为克罗内克乘积是张量积的特殊形式，所以它满足双线性与结合律。
即
AB 和 BA 是置换等价的，也就是说，存在置换矩阵P和Q，可以使得
AB=P(BA)Q
2.混合乘积性质
如果存在A，B，C，D这四个矩阵，且矩阵乘积AC和BD存在，那么就有：
(AB)(CD)=ACBD
这个性质称为“混合乘积性质”，因为它混合了通常的矩阵乘积和克罗内克积。于是可以得到：当且仅当 A 和 B 是可逆的时， AB 是可逆的。
即
3.克罗内克和
如果A是n×n矩阵，B是m×m矩阵， 表示k×k单位矩阵，那么我们可以定义克罗内克和⊕为：
4.转置
克罗内克乘积的转置运算符合分配律：
4.行列式
定义
一个n×n的正方矩阵A的行列式记为 det(A) 或者 |A| ,一个2×2矩阵的行列式可表示如下:
性质
一个n×n矩阵的行列式等于其任意行（或列）的元素与对应的代数余子式乘积之和，即：