Riemann-Roch 定理及其应用

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因子与因子类群

定义紧黎曼曲面 M 上的因子 D 为一个有限的形式和

D=\sum_{p\in M} n(p)p

其中 n 是一个映射 n:M\to \mathrm Z，对于每一个 M 上的点 p 指定一个整数。

对于一个 M 上的亚纯函数 f，自然地决定了一个因子

(f)=\sum_{p\in M} v_p(f)p

这里的 v_p 定义为 f 的赋值，即 f 在 p 处的 Laurent 展开 f(z)=a_n(z-p)^n+a_{n+1}(z-p)^{n+1}+\cdots(n\in \mathrm Z) 中最后一个不为零的 a_n 对应的 n。

亦可以定义亚纯微分 \omega=fdz 的赋值为 v_p(\omega)=v_p(f)，这样一个亚纯微分也决定了一个因子。

我们可以定义因子的加法：

\sum_{p\in M}n_1(p)p+\sum_{p\in M}n_2(p)p=\sum_{p\in M}[n_1(p)+n_2(p)]p

于是 M 上的所有因子在加法下成一个 Abel 群，被称为因子群 \mathfrak G。

我们亦可以给亚纯函数决定的因子定义群结构如下：

f+g:=f\cdot g \\ -f:=f^{-1}

于是在这个定义下，亚纯函数决定的因子成一个群，显然是 \mathfrak G 的子群，我们称之为 M 的主要因子群 \mathfrak F。

对于 \mathfrak G ，我们定义一个从因子到整数的自然映射

d:\mathfrak G\to \mathrm Z \\\sum_{p\in M}n(p)p\mapsto \sum_{p\in M} n(p)

容易验证这是一个群同态，而又有 \mathrm{K er} \space d\supset \mathfrak F，于是诱导出 \mathfrak G/\mathfrak F 的商群 \bar{\mathfrak G} ，称之为因子类群。

显然，D_1-D_2\in \bar{\mathfrak G} 是一个等价关系。我们称两个因子线性等价，即

D_1\cong D_2\iff D_1-D_2\in \bar{\mathfrak G}

显然，任取两个亚纯函数 \omega，都有 \omega_1-\omega_2=(\frac{\omega_1}{\omega_2})\in \bar{\mathfrak G}，于是我们可以说，所有亚纯函数所在于同一个等价类，也就是说，任何两个亚纯函数都线性等价，我们称这个等价类的代表元为 K，称之为 M 上的典范因子。

这就完成了因子的准备工作，接下来需要做一些定义，为 Riemann-Roch 定理的描述做预备。

定义 D\ge 0\iff \forall p\in M,f\in \mathfrak M(M),v_p(f)>0

定义 l(D)=\{f\in \mathfrak M(M)\mid (f)+D\ge 0\}

而后我们可以给出 Riemann-Roch 定理的第一个描述：

Riemann-Roch 定理的描述与初步应用

在一个紧黎曼面 M 上，对于任意一个因子 D 有如下等式：

\dim l(D)=\dim i(D)+d(D)+1-g

其中，g 是 M 的亏格。

接下来我们解释这个等式并给出一些初步的应用

对于 l(D)，我们首先要说明它是一个有限维的向量空间，对此需要做一些准备

任取一个 \omega\in \bar{}\mathfrak G，令 $$