论 2^5000 内最大的奇素数的性质

x383494 · 2024-06-16 16:47:11 · 个人记录

本文为第二届你要魔怔杯鲜花大赛！！！投稿作品。

然而你不用太切题，比如《论最小的奇素数3的性质》就是一个太切题的例子。

论 2^{5000} 内最大的奇素数的性质

141246703213942603683520966701614733366889617518454111681368808585711816984270751255808912631671152637335603208431366082764203838069979338335971185726639923431051777851865399011877999645131707069373498212631323752553111215372844035950900535954860733418453405575566736801565587405464699640499050849699472357900905617571376618228216434213181520991556677126498651782204174061830939239176861341383294018240225838692725596147005144243281075275629495339093813198966735633606329691023842454125835888656873133981287240980008838073668221804264432910894030789020219440578198488267339768238872279902157420307247570510423845868872596735891805818727796435753018518086641356012851302546726823009250218328018251907340245449863183265637987862198511046362985461949587281119139907228004385942880953958816554567625296086916885774828934449941362416588675326940332561103664556982622206834474219811081872404929503481991376740379825998791411879802717583885498575115299471743469241117070230398103378615232793710290992656444842895511830355733152020804157920090041811951880456705515468349446182731742327685989277607620709525878318766488368348965015474997864119765441433356928012344111765735336393557879214937004347568208665958717764059293592887514292843557047089164876483116615691886203812997555690171892169733755224469032475078797830901321579940127337210694377283439922280274060798234786740434893458120198341101033812506720046609891160700284002100980452964039788704335302619337597862052192280371481132164147186514169090917191907217

什么，你说不方便阅读？

1. 这个数是满足要求的最大的素数：2^{5000}-2159。

2. 它在十进制下的长度为 1506.

3. 注意力集中的读者会立马指出，这其中隐藏着一些有趣的数字。

   （只标出部分 \ge 1000 的数字）

   14124670321394260368352096670161473336688961751845\\ 41116813688085857118169842707512558089126316711526\\ 37335603208431366082764203838069979338335971185726\\ 63992343105177785186539901187799964513170706937349\\ 82126313237525531112153728440359509005359548607334\\ 18453405575566736801565587405464699640499050849699\\ 47235790090561757137661822821643421318152099155667\\ 71264986517822041740618309392391768613413832940182\\ 40225838692725596147005144243281075275629495339093\\ 81319896673563360632969102384245412583588865687313\\ 39812872409800088380736682218042644329108940307890\\ 20219440578198488267339768238872279902157420307247\\ 57051042384586887259673589180581872779643575301851\\ 80866413560128513025467268230092502183280182519073\\ 40245449863183265637987862198511046362985461949587\\ 28111913990722800438594288095395881655456762529608\\ 69168857748289344499413624165886753269403325611036\\ 64556982622206834474219811081872404929503481991376\\ 74037982599879141187980271758388549857511529947174\\ 34692411170702303981033786152327937102909926564448\\ 42895511830355733152020804157920090041811951880456\\ 70551546\color{#383494}{83494}\color{black}46182731742\color{red}32768\color{black}598927760762070952587\\ 83187664883683489650154749978641197654414333569280\\ 12344111765735336393557879214937004347568208665958\\ 71776405929359288751429284355704708916487648311661\\ 56918862038129975556901718921697337552244690324750\\ 78797830901321579940127337210694377283\color{red}{4399}\color{black}22280274\\ 06079823478674043489345812019834110103381250672004\\ 66098911607002840021009804529640397887043353026193\\ 37597862052192280371481132164147186\color{red}{5141}\color{black}69090917\color{red}191\\ 9\color{black}07217

4. 它的原根是 $Aborted（感谢 MatrixGroup 提供的计算）。

5. 下文不妨记此数为 p.

7. 不难发现 383494 在 \bmod\ p 意义下的一个平方根为

   134445076628590420127370760799976439497530698816983026700032454746597435047673562442034732513421921174938456608239050304111285667036815897758112095110054381000408011729221125198391898090889167505809364195547256789191819921238150009226148252930505955040800751633482714276181583143200013570523383729413134516412290321111989809064762870928045097184765927498211430022504185875350526046175208293456958717863546777193261296870209824791591766222063123875277716380766038586282947076928390565143318698457686103296989691128822766799666301303152281808876005126210713125655718161566144731831540603103963498971241251394276336584730683506324954943810739757333901991397613643220381200354085104979883420282464427229351008646134865388507399055468904400490680475701414676582589856137299889768124233248779730689024089665039106461382427445743591486525587915754589956065950198867433251567468824673735362894187176258188747234128658571431681727410224219839314352130079210313436423411417422847689435374630069314272012740528041180767853357935526386595896915206112368097547902839980202947635020138321675593474847182996086604581190859773728740877478325131558367941995306412771349944495396984689895157771822332498172636376306143440276008341001798839302465842948315036094511356367225116534522437056107789635749971075792760201781041444961934030956595984955928496238748018857606011564420680847972498790010986701007603443310687553547512647163017694896299072792386266438184224600703601431877202954573467234565944300016844914350012870503352

14. | 数字 | 个数 | | :-: | :-: | | 0 | 146 | | 1 | 171 | | 2 | 145 | | 3 | 155 | | 4 | 140 | | 5 | 142 | | 6 | 139 | | 7 | 144 | | 8 | 172 | | 9 | 152 |

后面想到了其他性质再来补充。