三角函数基础知识点和技巧总结

da_ke · 2024-11-30 18:37:12 · 学习·文化课

三角函数是高考中比较重要（其实也是最简单）的部分。本文力求涵盖三角函数所有考点技巧。

高中生可以以本文为参考，切勿以本文代替课程；初中生有兴趣的可以根据本文学习三角函数。总之，本文是面对初学者和有兴趣学习三角函数的。

本人初中生，写此文难免有差错，欢迎评论区留言。

前备知识

• 锐角三角函数的定义。\sin \alpha,\cos\alpha,\tan \alpha 三个三角函数。
• 平面几何、平面直角坐标系。

任意角及三角函数概念

• 正角表示逆时针旋转，负角表示顺时针旋转。

• 三角函数的概念：在平面直角坐标系中，任意角的始边为 x 的非负半轴，终边交单位圆（原点为圆心，1 为半径长的圆）于 (x,y)，设这个任意角为 \theta，则 \sin \theta=y,\cos \theta=x,\tan \theta = \dfrac{y}{x}。

• 同角三角函数的关系：根据三角函数的概念，有两个公式 \sin^2 \theta+\cos^2\theta=1,\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan \theta。

• （技巧）扇形：扇形圆心角为 \alpha，半径为 r，弧长为 \alpha r。

• （技巧）提取公因式：例子，\sin^2 x+\sin^2\cos^2x+\cos^4x=\sin^2+\cos^2(\sin^2+\cos^2)=1。

• （技巧）“配方”：\sin \theta\pm \cos\theta 与 \sin\theta \cos\theta 知道一个就能求出另一个。方法是根据 \sin^2 \theta+\cos^2\theta=1,(\sin \theta\pm \cos\theta)^2=1\pm 2\sin\theta\cos\theta。

• （技巧）“齐次”：形如 a\sin^2\theta+b\sin\theta\cos\theta+c\cos^2\theta 可以除以 \sin^2 \theta+\cos^2\theta，不影响结果，可得 a\sin^2\theta+b\sin\theta\cos\theta+c\cos^2\theta=\dfrac{a\tan^2\theta+b\tan \theta+c}{\tan^2\theta+1}。

• （技巧）“平方差”：形如（以余弦举例） \sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}} 利用平方差公式，使得分子得到完全平方，分母利用关系可得异名函数的平方，可谓一举两得。\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}}=\sqrt{\dfrac{(1+\cos\theta)^2}{\sin^2\theta}}=\dfrac{|1+\cos\theta|}{|\sin\theta|}。

• （注意事项）三个函数符号问题：终边第一象限，\sin,\cos,\tan 都正；终边第二象限，只有 \sin 为正；终边第三象限，只有 \tan 为正；终边第四象限，只有 \cos 为正。

• （题型）\dfrac{\alpha}{2} 的象限问题。涉及分类讨论，有兴趣的读者可以自行参考辅导资料了解。

诱导公式

公式

• \sin(\theta+2\pi)=\sin\theta,\cos(\theta+2\pi)=\cos \theta,\tan(\theta+2\pi)=\tan \theta
• \sin(\theta+\pi)=-\sin\theta,\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta,\tan(\theta+\pi)=\tan\theta
• \sin(\pi-\theta)=\sin \theta,\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta,\tan(\pi -\theta)=-\tan\theta
• \sin\Big(\theta+\dfrac{\pi}{2}\Big)=\cos\theta,\cos\Big(\theta+\dfrac{\pi}{2}\Big)=-\sin\theta
• \sin\Big(\dfrac{\pi}{2}-\theta\Big)=\cos\theta,\cos\Big(\dfrac{\pi}{2}-\theta\Big)=\sin\theta

记忆技巧

诱导公式是指 \theta 加或减 \dfrac{\pi}{2} 的整数倍后三角函数的公式。其余的（如加 \dfrac{\pi}{3}）都不能用诱导公式解决。

（奇变偶不变，符号看象限）在公式（以正弦举例） \sin\Big(k\cdot\dfrac{\pi}{2}+\theta\Big)

• 如果 k 为偶数，函数名不变；
• 如果 k 为奇数，函数名变，

确定符号时，令 \theta\in \Big(0,\dfrac{\pi}{2}\Big)，确定角度 \Big(k\cdot\dfrac{\pi}{2}+\theta\Big) 终边所在象限。符号被确定为原三角函数名（变之前） 在「角度 \Big(k\cdot\dfrac{\pi}{2}+\theta\Big) 终边所在象限」的符号。

技巧

• （凑角）：有些角并不能直接用诱导公式展开，但题目往往会给出两个条件，这两个条件一定有联系：他们往往通过加减可以得到 \dfrac{\pi}{2} 或可以通过诱导公式计算的角度。

三角函数图像性质

如上图。

三角函数图像性质题，第一步一定是利用公式化简！公式部分见下。其中往往涉及到前面函数的性质，这里就不多赘述了。

正弦型函数

• 定义：f(x)=A\sin(\omega x+\phi)

• 周期：T=\dfrac{2\pi}{\omega}

• 平移规律：先向左平移 \phi 个单位，再将 x 轴压缩至 \dfrac{1}{\omega} 倍；将 y 轴扩大至 A 倍。

• 五点法在上面图片上有。

确定函数解析式，采用待定系数法。

三角恒等变换（重点）

正弦、余弦、正切和差公式

• （正弦和差）\sin (\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta（异名相乘符号同）

• （余弦和差）\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta（同名相乘符号异）

• （正切和差）\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}

证明（向量法）

• 平面几何法可以直接上网搜到，但其证明不能对于任意角适用。
• 人教 A 版中提供了两种证明，下面讲的是必修二中的向量法（最简洁明了），必修一中的方法读者自行了解。

设角 \alpha,\beta 终边分别与单位圆交于 A(\cos\alpha,\sin\alpha),B(\cos\beta,\sin\beta)。\cos(\alpha-\beta)=\dfrac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|\cdot|\overrightarrow{OB}|}=\dfrac{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}{1\times1}=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta。我们得到了余弦和公式。

利用诱导公式，我们可以得到别的公式。篇幅限制，难以逐一叙述，读者自行探究。（推导时可借助 \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}）

技巧

有些方法技巧用 \sin,\cos,\tan 中的一个举例，读者需举一反三。

• （凑角）已知 \sin\alpha,\sin\beta，可以求出 \sin(\alpha\pm\beta)。注意变通，\alpha,\beta 可以换成很多别的值，如 \sin\alpha=\sin[(\alpha+\beta)-\beta],\sin(\alpha+\beta)=\sin[(\alpha-\gamma)-(\gamma-\beta)] 等等。

• （特殊角之变形）\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4} 是特殊角，还包括可以有以上角经过诱导公式变形的角。所有有些角可以写成含特殊角的加减式：15\degree=45\degree-30\degree,20\degree=30\degree-10\degree。

• （特殊角之常值代换) \dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4} 的三角函数值是确定的，遇到 \sqrt3,\dfrac{1}{2} 等值可以用三角函数替换。例子：\dfrac{\sqrt3}{2}\cos\alpha+\dfrac{1}{2}\sin\alpha=\cos\Big(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\Big)（这里设计下一个公式逆用）。

• （公式逆用）公式不仅要正着用，还要逆着用。例子就可以用上面的例子。

• （公式推论）

• （韦达定理）\tan(\alpha+\beta) 只与两个 \tan 的和和积有关。

• （对偶式）形如 a\sin\alpha+b\sin\beta=p,a\cos\alpha+b\cos\beta=q，将两式平方相加得到 \cos(\alpha-\beta)=\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{p^2+q^2-a^2-b^2}{2ab}。

• （菜，就多练）本节技巧极多，读者需多加练习，才能更熟练地应用公式。

二倍角公式及拓展

二倍角公式

• （二倍角公式）\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1,\tan2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}

拓展：半角公式、降幂公式及其他变形

• 1\pm\sin2\alpha=1\pm2\sin\alpha\cos\alpha=(\sin\alpha\pm\cos\alpha)^2

• （降幂公式）\sin^2\alpha=\dfrac{1}{2}(1-\cos2\alpha),\cos^2\alpha=\dfrac{1}{2}(\cos2\alpha+1)

• （半角公式）

  • \sin\dfrac{1}{2}\alpha=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}}
  • \cos\dfrac{1}{2}\alpha=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}}
  • （极其重要）\tan\dfrac{1}{2}\alpha=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}

技巧

• （应用变形）看到 \sin\alpha\cos\alpha 应立刻想到 \sin2\alpha；看到 1+\cos \alpha 应立刻想到 1+\cos2\alpha=2\cos^2\alpha
• （综合应用）二倍角公式往往和其他公式混用。凑角时往往先提取一个 2\times(\dots) 然后对里面凑角，最后用二倍角公式计算。

辅助角公式

• （辅助角公式 1，读者重点记忆）a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi)，其中 \tan\phi=\dfrac{b}{a}。
• （辅助角公式 2，不常用，可以选择使用）a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\phi)，其中 \tan\phi=\dfrac{a}{b}。

证明

观察到 \left[\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right]^2+\left[\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right]^2=1，随后易证。

技巧

• （处理特殊角）辅助角公式是前面【常值代换】【公式逆用】的一般化。但是，由于 \phi 只知道三角函数值，不知角度，所以一般来说 \phi 是特殊角。
• （\sin x\pm\cos x），对 \sin x\pm\cos x 应用辅助角公式，\sin x\pm\cos x=\sqrt2\sin\left(x\pm \dfrac{\pi}{4}\right)。尤其是图像性质题往往会应用辅助角公式进行变形。

其他公式补充

• 积化和差、和差化积公式

• （万能公式）万能公式本质是将三角函数转化成 \tan \dfrac{1}{2} \alpha 的表达式。

  • 公式：\sin\alpha=\dfrac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{\tan^2\frac{\alpha}{2}+1}； $\tan\alpha=\dfrac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}$， 证明万能公式可以利用二倍角公式和齐次技巧。
  • 万能应用时，往往题目会给出含 \sin x,\cos x 的齐次式，对齐除以 \sin^2 x+\cos^2 x 可解得 \tan x 的值，利用万能公式求出 \sin 2x,\cos 2x 的值。

• （正切恒等式）A,B,C 为三角形三个内角 \tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C。

  • 证明利用 \tan C=-\tan(A+B) 易证。
  • 题目往往会给出一个隐含特殊角的正切值，如：\sqrt 3\tan A\tan B=\tan 60\degree\tan A\tan B。