2024数学新高考一卷压轴题
sunzz3183
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个人记录
2024数学新高考一卷压轴题
题面
懒得打，直接放。
解
(1)
### (2)
考虑，$a_1,a_3,a_4,\dots,a_{12},a_{14}$，可以通过这样的方式分成 $3$ 个等差数列：
$$
\begin{matrix}
a_1,a_4,a_7,a_{10};
\\a_3,a_6,a_9,a_{12};
\\a_5,a_8,a_{11},a_{14}.
\end{matrix}
$$
使得每一个序列都为等差序列，然后 $a_{14}$ 后面的数可以相邻 $4$ 个为一个等差数列。
综上，$\forall m\ge 3$ 时，原序列为可分序列。
### (3)
设 $f(m)$ 为长度为 $4m+2$ 的等差序列可以使得剩下的序列为一一可分序列的数对个数，简称合法数对个数。
显然对于 $\forall i=4t+1,(t=0,1,2,\dots,m)$，$(i,i+1)$ 都是合法数对，这样的数对个数为 $m+1$。
考虑一个长度为 $4t+2,(t=1,1,2,\dots,m)$ 的序列：
- 当 $t\ge 2$ 时
> 我们先把序列如下叙述方式分割：
>
> $$
> \begin{matrix}
> a_1,a_{t+1},a_{2t+1},a_{3t+1},a_{4t+1};
> \\a_2,a_{t+2},a_{2t+2},a_{3t+2},a_{4t+2};
> \\a_3,a_{t+3},a_{2t+3},a_{3t+3};
> \\\vdots
> \\a_t,a_{2t},a_{3t},a_{4t}.
> \end{matrix}
> $$
>
> 易得每一个序列都为等差序列。
>
> 又 $\because $ 除第一、二个序列长度为 $5$ 外，其他长度序列均为 $4$。
>
> $\therefore$ 将第一个序列的开头、第二个序列的结尾删除，或将第一个序列的结尾、第二个序列的开头删除，可以使合法数对个数增加 $2$。
- 当 $t=1$ 时
> 由 $(1)$ 得，合法且数对内数字不相邻数对的个数为 $1$。
对于一个长度为 $4m+2$ 得序列，我们可以删除开头和结尾长度为 $4$ 的倍数的序列，使得剩下的序列长度为 $4t+2$，然后形如于上文方式选择即可。
综上
$$f(m)=m+1+\sum_{t=1}^m t+\sum_{t=2}^m 2(m-t+1)=m+1+m+m(m-1)=m^2+m+1$$
则
$$P_m=\frac{f(m)}{C_{4m+2}^{2}}=\frac{m^2+m+1}{8m^2+8m+1}=\frac{1}{8}+\frac{\frac{7}{8} }{8m^2+8m+1}$$
由 $m\ge 1$ 易得 $8m^2+8m+1>0$，
故 $P_m> \frac{1}{8} $。