浅谈2025数学中考

_zyx___ · 2025-08-10 12:22:12 · 学习·文化课

前言

本蒟蒻趁七升八暑假做了 2025 全国各地的中考数学，这篇文章是对各地压轴（太烂或者没有参考价值的就没有）与一些好题的总结，包括自己做题的思路与套路和练习方向，希望能帮到您 QAQ。

注：本文大多数都是直接运用结论（如射影定理等），且是拔高内容，相信你能学 OI 数学一定很好。

四川成都

~~我就是这的，所以先这吧~~

B22 B填相似好题（B填倒2）

个人思路-T1

看到 45^\circ，等腰三角形，正切值，果断想到作垂线。且发现对与等腰三角形底边的垂线刚好一举两得。然后就是大胆设参，根据 45^\circ 直角三角形边长比和三线合一的性质倒边，形如：

简记过程

那么我们设 GC 为 x (设最短的避免出现分数) 易证 \triangle DGC \sim \triangle AHC

\therefore \frac{DC}{AC}=\frac{GC}{HC}=\frac{2}{5}=\frac{x}{HC}

解得 HC=BH=\frac{5}{2}x（三线合一），HG=\frac{3}{2}x，BG=DG=4x（等腰直角三角形的性质）

那么一空就搞定了，\tan \angle ACB=\frac{DG}{GC}=4

个人思路-T2

给你一个等角，不是全等就是相似，花 eps 秒瞪一下发现 \angle CED 和 \angle ABD 所在的 \triangle ABD 和 \triangle DCE 既不相似也不全等（这里看似仙家对话，实际上熟练了 eps 秒就看出来了）。那么就一定是倒角，这里有个非常重要的

::::info[先猜后证] 大胆猜想，小心求证 :::: 倒角要带着目的性倒才能更快，所以要先猜,猜想 \triangle DBE \sim \triangle DCE （这里看似仙家对话，实际上熟练了 eps 秒就看出来了）。由于有一组共角，我们只需倒另一个角即可，我在证明过程中喜欢倒小角，所以我们倒 \angle CDE=\angle DBE=45^\circ 即可，哦对了，倒角你需要：

三角形内角和
三角形外角定理
设参
八字模型 ::::info[经验] 如果倒角实在倒不出来，不用怀疑方法是错的，你想另外想一个（方法）也行，但时间紧迫，填空题直接顺着思路往下做就行了，解答题的话你就默认你倒出来了，直接用就行，反正中考是按点给分，只要不是特别关键的倒角（或简单），顶天扣你 1，2 分 :::: 我们开始倒角吧：首先因为 \triangle ABC 等腰，所以有 \angle ABC=\angle ACB。然后我们需要充分利用两组等角，让其对我们证明的角产生关系。

\therefore \angle ABC=\angle ACB=\angle ABD+\angle DBC

又 \because \angle ACB=\angle CDE+\angle CED

且\angle CED=\angle ABD

\therefore \angle DBC=\angle CDE$ 故 $\triangle DBE \sim \triangle DCE

完美！接下来就是一系列美妙绝伦（~~惨无人寰~~）的计算了

首先我们将 x 求出来，对于 RT\triangle DGC:

DG^2+GC^2=DC^2

\therefore x^2+(4x)^2=4$ 解得 $x=GC=\frac{2 \sqrt{17}}{17}$,$DG=\frac{8\sqrt{17}}{17}

\therefore BC=5x=\frac{10\sqrt{17}}{17}$，$BD=\sqrt{2}BG=\frac{10\sqrt{34}}{17}

相似射影定理地得DE^2=CE \times BE(CE+BC（\frac{10\sqrt{17}}{17}））

又我们知道相似比 \frac{BD}{DC}=\frac{DE}{CE}=\frac{5\sqrt{34}}{17} 有DE=\frac{5\sqrt{34}}{17}CE

带入射影定理的方程解得 CE=\frac{2\sqrt{17}}{3}

B23成都B填压轴-经典代数推理

每年都是，不过今年的太水了，相当于五年级小奥

B25平行四边形几何压轴

真正的压轴。

思路（仅 3 问）

对于一个平行四边形，或是对于两组平行边，我们一定想到类似倍长中线的想法，考虑将 EQ 延长，交 AD 于点 M。由于是平行我们易知有 \triangle EQC \sim \triangle DQM,然后我们发现除了我们构造的还有很多组平行相似，根据条件设参，然后一组组倒比例式即可，计算过程就不给了无意义（可以自己练练计算 但是真的很难算 ::::info[答案（建议自己算一遍再看哦]

\frac{2n+1}{6n+6}

:::: ~~延 EQ 也行~~ ::::info[我去，不早说]

用一下角平分线的二级结论好像直接秒了

::::

B26二次函数压轴

其实很简单。你需要意识到一个性质，即被垂直于 y 轴的直线平分的的角两边斜率互为相反数，我们可以向平分线做垂线来证，列方程即可，最后注意可以用韦达定理减少一点计算，~~纯水题~~

总结

今年成都的创新是有的，但是难度很偏简单,而且B 卷的计算量成吨，我还是更喜欢去年的 26，建议加强练习一下计算，还有以后的成都中考只会更难，不要轻敌了

结论

介于烂与不烂之间，参考分数 143（自己参考的，自己 146 错了道 B 填

重庆

非常有讲头的一张卷子，很难

9-选择几何压轴（WTF 吓哭了

需要知道一个前置定理，选填可以直接用： ::::info[12345定理] 若 \tan \angle 1=\frac{1}{2},\tan \angle 2=\frac{1}{3}，则 \angle 1+\angle2=45^\circ :::: ~~不知道的话感觉完全不可做,知道也不可做~~

思路

两个角平分线的交点，H 一定为 \triangle AGD 的内心，所以同样有 GH 平分 \angle AGD。另外由翻折不难得知，DE 平分 \angle GDC。所以 \angle HDE=45^\circ。由于翻折前后图形全等，那么：

\therefore DC=DF=2,EC=EF=\frac{1}{2}BC=1

\therefore \tan \angle GDE=\frac{EF}{DF}=\frac{1}{2}

后面就是一通倒角，然后运用结论，还疑似出现了 2 倍角公式，我也知道个大概，所以不敢乱讲就跳过了，可能是我太菜了（据说不难）

10-经典代数推理

重庆很爱考，跟成都B23差不多 ~~二项式定理纯 xjb 扯~~

首先我们要区分一下正整数和自然数，简单来说，正整数不含 0，而自然数含，所以我们就有 a_n \ge1，由于 n+a_n+a_{n-1}\sim a_0=5，所以 n\le 4，我们考虑分讨。

然后直接选即可，对于 A，数一下得确实有 5 个，正确。

对于 B，我们发现确实不存在，也正确。

对于 C，数一下的有 16 个故正确。

所以选 D

填空倒二-15题

这题就完全靠经验了。有一个很重要的习惯：边看边求

看到 AB\perp CD，一定是想到垂径定理，那么就有 CG=GF；其次，又有直角，又有 5,12 这样的勾股数，又有垂径定理推等腰的结论，一举三得，所以我们很容易可以想到连接 AF。

此时 \because \angle AGF=90^\circ \therefore AG^2+GF^2=AF^2

我们可以用勾股数简化运算，由于这是填空题所以可以直接得 AF=13（当然解答题也可以用，但是过程还是要~~假吧意思~~写一下）。很显然，AC=AF（三线合一推等腰）。

巧了！由于 ACDE 是菱形，\therefore CD=AC=13

\therefore DF=CD-CF=CD-2\times GF=3