微分与积分初步
Rusalka
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2020-06-21 00:06:38
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个人记录
看看要多久填完这个坑。 2020.8.20，已经填完了。
本文语言表述极不严谨 ，后续或许还会加入一些内容。
以下全部是个人的理解，如有不足也请指出，会尽快修改，谢谢！
一些约定
## 微分（导数）
### 基本概念
已知函数 $f(x)$，若与自变量在 $x$ 点的改变量 $\Delta x$ 相对应时，函数改变量为 $\Delta y$，则当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 的极限，称为该函数在 $x$ 点时的导数。
即：
$$ y^{'} =\lim\limits_{\Delta x \rightarrow0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
将 $y^{'}=f^{'}(x)$ 称为导函数，简称导数。
由于 $\lim\limits_{\Delta x \rightarrow0}$，变化量极小，故 $\Delta \rightarrow \mathrm{d}$，即：
$$y^{'}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$$
故也称导数为微分、微商。
若画出函数 $f(x)$ 的图像，则可以发现 $f^{'}(x)$ 即为函数变化率，即斜率。
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### 一些常见函数的导数（不完整）：
- $f(x)=C$，$f^{'}(x)=0
常数变化率为 0 ，故导数为 0 。
f(x)=x^n$，$f^{'}(x)=nx^{n-1}
证明：由导数定义得到：
f^{'}(x)=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow0}\dfrac{(x+\Delta x)^{n}-x^n}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow0}\dfrac{\sum_{k=0}^n (C_n^kx^n\Delta x^{n-k})-x^n}{\Delta x}=nx^{n-1}
在这里有一步忽略含有 \Delta x 项的步骤。这么操作的可行性在于由于 \Delta x \rightarrow 0 。
f(x)=\sin x$，$f^{'}(x)=\cos x
证明：由导数定义可知：
f^{'}(x)=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow0}\dfrac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}
由和差化积公式可知：
f^{'}(x)=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow0}\dfrac{2\cos(\frac{2x+\Delta x}{2})\sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow0}\cos(x+\frac{\Delta x}{2}) \times \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\dfrac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}
由夹逼原理可知 \lim\limits_{x \rightarrow 0}\dfrac{\sin {x}}{{x}}=1
于是可知：
f^{'}(x)=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow0}\cos(x+\frac{\Delta x}{2})=\cos x
f(x)=\cos x$，$f^{'}(x)= - \sin x
证明方法同上，请读者自行完成。留作习题答案略
f(x)=\log_ax$，$f^{'}(x)=\dfrac{1}{x\ln a}
不会证，下一个
特别地，当 a = e 时，有：
f(x)=\ln x$，$f^{'}(x)=\dfrac{1}{x}
f(x)=a^x$，$f^{'}(x)=a^x\ln x
不会证，下一个
特别地，当 a = e 时，有：
导数的运算
已知函数 f(x) ,g(x) ，则 [f(x)+g(x)]^{'}=f(x)^{'}+g(x)^{'}
由导数定义显然。
函数差同理：(f(x)-g(x))^{'}=f^{'}(x)-g^{'}(x)
推而广之，若
f(x)=a_1f_1(x)+a_2f_2(x)+a_3f_3(x)+...+a_nf_n(x)
则：
f^{'}(x) = a_1f_1^{'}(x)+a_2f_2^{'}(x)+a_3f_3^{'}(x)+...+a_nf_n^{'}(x)
已知函数 f(x) ,g(x) ，则:
[f(x)*g(x)]^{'}=f^{'}(x)g(x)+g^{'}(x)f(x)
令 g(x)=C ，则可得到一个特殊的公式：
[C*f(x)]^{'}=C*f^{'}(x)
已知函数 f(x) ,g(x) ，则:
[\dfrac{f(x)}{g(x)}]^{'}=\dfrac{f^{'}(x)g(x)-g^{'}(x)f(x)}{[g(x)]^2}
已知 g(z) ,z=f(x) ，则：
g{'}(x)=g^{'}(z)f^{'}(x)
证明什么的人家才不管呢
隐函数什么的人家才不管呢
洛必达法则：
若 \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x) = 0 , \lim\limits_{x \rightarrow a}g(x) = 0 ，则：
\lim\limits_{x \rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}
若 \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x) = \infty , \lim\limits_{x \rightarrow a}g(x) = \infty ，则：
\lim\limits_{x \rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}
积分
积分可以看作求导的逆运算。
假如，你想知道一个定义域为全体实数的函数 f(x) 在区间 [a, b] 中所有函数值的和。一个最简单的想法是 \sum ，但这样你会漏掉很多函数值，比如 f(2.4) 。这时候，你就需要积分。
首先定义原函数。若函数 F(x) 满足 F^{'}(x) = f(x) ，即 f(x) 为 F(x) 的导数，那么称 F(x) 为 f(x) 的原函数。
积分的过程实际上就是求一个函数的原函数。
注意到 F(x) = C 的导数为 0 ，所以若 F(x) 为 f(x) 的原函数，则 F(x)+C 也为 f(x) 的原函数。
不定积分
函数 f(x) 的全体原函数称为 f(x) 的不定积分，即：
\int f(x)\mathrm{d}x = F(x)+C
关于如何计算积分，后文会讲到。
定积分
求函数 f(x) 在区间 [a,b] 中函数值的和，这时候，你只需要在不定积分中加入上下界，就得到了定积分。
\int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x = F(b) - F(a)
这个等号很好理解。当然，这东西还有一种写法，可惜我不会用 Latex 打。
函数 f(x) 的定积分可以看作函数图像在区间 [a,b] 到 x 轴的投影覆盖的面积。
一些常见函数的积分
这一部分的证明就略过了，因为求导积分互为逆运算，会证导数，积分自然就会证了。
写证明很累的QAQ
f(x) = D, \int f(x)\mathrm{d}x = Dx+C
f(x) = x^a, \int f(x)\mathrm{d}x = \dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C\ (x \neq -1)
f(x) = \dfrac{1}{x}, \int f(x)\mathrm{d}x = \ln|x|+C
f(x) = \sin x, \int f(x)\mathrm{d}x = -\cos x+C
f(x) = \cos x, \int f(x)\mathrm{d}x = \sin x+c
f(x) = a^x, \int f(x)\mathrm{d}x = \dfrac{a^x}{\ln x}+C
f(x) = e^x, \int f(x)\mathrm{d}x = e^x+C
对数函数没有一般形式的积分，需要特别计算。（如使用后文的分部积分法）
反三角函数什么的人家才不管呢
积分的运算法则
首先是一些不需要奇巧淫技的简单性质。
已知函数 f(x) ,g(x) ，则：
\int [f(x)\pm g(x)]\mathrm{d}x = \int f(x)\mathrm{d}x \pm \int g(x)\mathrm{d}x
同样可以推广：若 f(x) = \sum\limits_{i=1}^{n}f_i(x) ，则
\int f(x)\mathrm{d}x = \sum\limits_{i=1}^{n} \int f_i(x)\mathrm{d}x
已知函数 f(x) ，则：
\int k \times f(x)\mathrm{d}x = k\int f(x)\mathrm{d}x
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = -\int_b^a f(x)\mathrm{d}x
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \int_a^c f(x)\mathrm{d}x + \int_c^b f(x)\mathrm{d}x\ (a \le c \le b)
可以看作复合函数微分的逆运算。
引进一个恰当的中间变量，使积分号里的微分，变换为以中间变量为自变量的基本函数的微分。
注意变换的过程中要满足等量置换的原则。
可能不太好懂，举个例子，求 :
\int \dfrac{1}{ax+b}\mathrm{d}x
令 u = ax+b ，则原式等价于
\int \dfrac{1}{u}\mathrm{d}x = \int \dfrac{1}{a}\dfrac{1}{u}\mathrm{du}=\dfrac{1}{a}\int \dfrac{1}{u}\mathrm{d}u=\dfrac{1}{a}\ln u +C= \dfrac{1}{a} \ln(ax+b)+C
以上是换元积分法的一个简单运用，换元积分法的关键之处在于构造中间变量。
可以看作函数积的微分的逆运算。
分部积分法一般使用在计算形如 \int v\mathrm{d}u 的式子时使用，要求能方便求出 \int u\mathrm{d}v 。
已知函数 u(x) ,v(x) 。由导数的知识，有:
[u(x)v(x)]^{'}=u^{'}(x)v(x)+v^{'}(x)u(x)
即：
u^{'}(x)v(x)=[u(x)v(x)]^{'}-u^{'}(x)v(x)
为了方便之后的计算，写成微元的形式
v\mathrm{d}u = \mathrm{d}(uv) - u\mathrm{d}v
两边积分
\int v\mathrm{d}u = \int\mathrm{d}(uv) - \int u\mathrm{d}v = uv - \int u\mathrm{d}v
至此，我们便可以使用换元积分法计算出上式。
举个例子
求
\int x \ln x \mathrm{d}x
为了构造出上式，我们令 u(x) = \ln x ，v^{'}(x) = x ，则可以得到：u^{'}(x) = \dfrac{1}{x} ，v(x) = \dfrac{x^2}{2}
带入分部积分的式子：
\int x\ln x \mathrm{d}x = \dfrac{x^2\ln x}{2} - \int \dfrac{x^2}{2}\cdot \dfrac{1}{x}\mathrm{d}x = \dfrac{x^2\ln x}{2} - \dfrac{x^2}{4}+C
分部积分法不一定会使运算更加简便，请视情况使用。