扩展欧几里得算法（EXGCD）学习笔记

# 0.前言 相信大家对于欧几里得算法都已经很熟悉了。再学习数论的过程中，我们会用到扩展欧几里得算法（exgcd），大家一定也了解过。这是本蒟蒻在学习扩展欧几里得算法过程中的思考与探索过程。 # 1.Bézout定理 扩展欧几里得算法利用归纳法，证明了Bézout定理。 > Bézout定理：对于任意整数 $a$,$b$ ，存在一对整数 $x$,$y$，满足 $ax+by=gcd(a,b)$ 在扩展欧几里得的算法中，我们求出 $x$,$y$ 的值。 # 2.证明 ## 2.1 $gcd$ 首先，我们来看一下 $gcd$ 函数 ``` int gcd (int a, int b) { if(b == 0) return a; else return gcd(b, a % b); } ``` 在第二行，也就是递归终止时，$b=0$ 且 $a=gcd(a,b)$。 我们可以发现存在一对整数 $x$,$y$ 满足条件 $ax+by=gcd(a,b)$。 将已知的值代入可得: $ax+b*0=gcd(a,b)$ ∵$a=gcd(a,b)$ ∴$gcd(a,b)*x=gcd(a,b)$ ∴$y$在终止时可取任意值，$x=1$ ## 2.2归纳法 我们在2.1中得到了 $b=0$ 时的解。现在，我们用归纳法一步步得到最终解。当 $b>0$ 时，我们假设 $b*x$ 满足条件 $b*x+(a\,mod\,b*y)gcd(b,a\,mod\,b)$(代入的值也正是我们平时进行gcd的转移方程) $∵ bx+(a\,mod\,b)y=bx+[a-b(a/b)]y$ $∴ bx+(a\,mod\,b)y=bx+ay-by(a/b)$ $∴ bx+(a\,mod\,b)y=ay+bx-by(a/b)$ $∴ bx+(a\,mod\,b)y=ay+b[x-(a/b)y]$ 令 $x_1=y$, $y_1=x-(a\,mod\,b)y$,再代入已得到的式子，就能得到： $ax_1+by_1=gcd(a,b)$,所以可以得出Bézout定理成立。 # 3.代码实现 ## 3.1思路简述 我们的代码在截止条件上与 $gcd$ 相同，都是 `if(b == 0)`时停止递归。我们在此基础上再改变 $x$ 和 $y$ 的值。 ## 3.2参考代码及注释 大部分都按照前面的推导过程 ``` int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) { //x，y的初始值无关 if(b == 0) { x = 1, y = 0;//改变x，y的值（y可取任意值） return a; } else { int tmp = exgcd(b, a % b, x, y);//保存下一次的最大公约数 int z = x; //存储上一次的x y = x; //及上文中的y1 x = z - y * (a / b); //及上文中的x_1 return tmp;//返回最大公约数 } } ```