无题

· · 算法·理论

求证：如果在 G 上的二元运算 \cdot 满足：

\begin{array}{c} \forall a,b\in G,a\cdot b\in G\\ \forall a,b,c\in G,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\\ \exists e\in G,\forall a\in G,e\cdot a=a\\ \forall a\in G,\exists a'\in G,a'\cdot a=e \end{array}

则 \forall a\in G,a\cdot e=a,a\cdot a'=e。

证明：

\begin{array}{c} a'\cdot a=e\\ a''\cdot a'\cdot a\cdot a'=a'' \cdot (e\cdot a')=a''\cdot a'\\ a''\cdot a'=e\\ e\cdot(a\cdot a')=e\\ a\cdot a'=e\\ a\cdot e=a\cdot (a'\cdot a)=e\cdot a=a \end{array}