刘维尔定理

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引理1

取圆盘D(0,R)\in C，则全纯函数f(z)有

|f^{n}(z)|\le \frac{n!M}{R^n}

其中M为D中|f(z)|的最大值。

证明：

显然。

刘维尔定理

在C上有界全纯的函数必为常函数。

证明

若f(z)在C上有界，则设M为上界\sup |f(z)|

任取一点z_0 \in C，

由引理1，得到f在该点导数的估计：

|f'(z_0)|\le \frac{M}{R}

令R\to \infty，则有f'(z_0)=0

由于z_0为任取，故在C上任意一点处f'(z)=0，故f为常函数。