调和的学习

peterwuyihong · 2020-08-01 12:03:18 · 个人记录

有趣的哲学问题

有一根彼得牌橡皮筋，十分牢固，可以无限拉伸。

将一根 1m 的彼得牌橡皮筋圈放在地上，在一个点上放一只\sout{(cxk)}蚂蚁。

蚂蚁以 1cm/s 的速度绕圈行走。

彼得以 1m/s 的速度把彼得牌橡皮筋拉大。

若考虑橡皮筋会带蚂蚁走

问什么时候蚂蚁走到终点

蚂蚁是 1cm/s 但彼得是 1m/s ，看起来不行，但是橡皮筋拉伸时会带动蚂蚁走，所以问题又变复杂了。

蚂蚁第一次走了一圈的 1\% ，第二次走了一圈的 \frac{1}{2}\% ，第三次走了 \frac{1}{3}\% ，Balabala\dots\dots

于是就是要求

\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{i}\%}=1

有没有 n 可以使上式成立

我们记H_i=\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{i}}，这个东西叫做调和数，n\rightarrow\infty时H_i\rightarrow\infty

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}

大于

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}

也就是说你不断地在给1加上\frac{1}{2}，所以会越来越大

\lim_{n\rightarrow\infty}{H_n}=\ln(n+1)+\gamma

证明：用泰勒展开 \ln(1+\frac{1}{x})，将\frac{1}{x}提出来，相加，剩下一坨式子求极值。

此处 \gamma = 0.57721566490153286060651209\dots\approx\frac{\sqrt{3}}{3}

也就是求 H_n=100的 n

带入欧拉公式并进行物理忽略（爬

\ln(n)=100

n=e^{100}\approx2.7\times10^{43}

也没几天叭

其实蚂蚁是爬的到的

其实我们就像蚂蚁一样，在这数学的彼得牌橡皮筋上爪巴，终有一天会爬到真理的终点（诗兴大发