题解：P12252 [蓝桥杯 2024 国 Java B] 七边形
FDOI
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题解
题意简述：
给定前四个七边形图案的小球数量：
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a_1 = 1
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a_2 = 7
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a_3 = 18
-
a_4 = 34
求第20240601个七边形需要的小球数量 a_{20240601}。
解题步骤
1. 寻找数列规律:
首先计算相邻项的差值：
-
\Delta_1 = a_2 - a_1 = 7 - 1 = 6
-
\Delta_2 = a_3 - a_2 = 18 - 7 = 11
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\Delta_3 = a_4 - a_3 = 34 - 18 = 16
貌似不对劲？
没关系，再差分一次！
再计算二阶差分。
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\Delta^2_1 = \Delta_2 - \Delta_1 = 11 - 6 = 5
-
\Delta^2_2 = \Delta_3 - \Delta_2 = 16 - 11 = 5
由于二阶差分是个常数，说明这是一个二次递推关系，通项公式可以表示为：
a_n = An^2 + Bn + C
2. 建立方程组：
这里没有别的技巧，直接带进去算。
代入前三个已知值。
\begin{cases}
A(1)^2 + B(1) + C = 1 \\
A(2)^2 + B(2) + C = 7 \\
A(3)^2 + B(3) + C = 18
\end{cases}
化简得：
\begin{cases}
A + B + C = 1 \\
4A + 2B + C = 7 \\
9A + 3B + C = 18
\end{cases}
3. 解方程组：
来一手初中数学。
消元：
- 方程2 - 方程1： 3A + B = 6。
- 方程3 - 方程2： 5A + B = 11。
- 再相减得： 2A = 5 \Rightarrow A = \frac{5}{2}。
- 代入得： B = -\frac{3}{2}。
- 最后得： C = 0。
通项公式：
### 4. 算答案：
**最关键一步来了！**
$$ a_{20240601} = \frac{20240601 \times (5 \times 20240601 - 3)}{2} $$。
#### 分步计算：
1. 计算括号内： $5 \times 20240601 = 101203005$
2. $101203005 - 3 = 101203002$
3. $20240601 \times 101203002 = 20240601 \times (10^8 + 1.203002 \times 10^6)$
$= 2.0240601 \times 10^{15} + 2.4349483484202 \times 10^{13}$
$= 2.048409583484202 \times 10^{15}$
4. 最后除以 $2$ 得到 $1.024204791742101 \times 10^{15}$。
~~计算器都按炸了。~~
## 最终答案：
第20240601个七边形需要的小球数量为：
$$ \boxed{1024204791742101}
完结撒花！
CODE:
print(1024204791742101)