General Physics II W9: Magnetostatics

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静磁学

电流密度

运动的电荷产生磁场，磁场对运动的电荷有力的作用，具体来说，磁场力的形式为

\mathbf F=q\mathbf V\times\mathbf B.

其中 \mathbf B 是磁场，这是一个和电荷的运动有关的量。为了定量描述它，我们引入电流密度这个概念。

在空间中某一点 P 处，电荷运动有一个确定的方向 \mathbf e_n，设 j 表示单位时间内通过单位面积的以 \mathbf e_n 为法向量的截面的电荷通量，则 \mathbf j(P)=j\mathbf e_n 称为 P 点的面电流密度。

如果电荷运动局限在曲面 \Sigma 上，对于 \Sigma 上一点 P，电荷运动方向为 \mathbf e_n，设 J 表示单位时间内通过单位长度的 \mathbf e_n 垂线的电荷通量，则 \mathbf J(P)=J\mathbf e_n 称为 P 点的线电流密度。

如果电荷运动局限在曲线 \gamma 上，对于 \gamma 上一点 P，电荷运动方向必定为 \mathrm d\mathbf l(P)，单位时间内通过该点的电荷通量 I 称为电流。有时我们也用 \mathbf I 表示一个矢量，其方向与 \mathrm d\mathbf l(P) 相同。

因此，\mathbf j,\mathbf J,\mathbf I 分别对应了体、面、线中的电荷运动，可以将它们类比于电荷密度 \rho,\sigma,\lambda，这一点是重要的。

电流本身还描述了一种通量。例如，给定一个曲面 \Sigma，通量

I=\int_{\Sigma} \mathbf j\cdot \mathrm d\mathbf S

称为 \Sigma 的电流。

下面我们根据电流密度，给出静磁学中磁场所满足的微分方程：

\begin{cases}\nabla\cdot\mathbf B=0\\ \nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf j\end{cases}.

下面我们仿照静电场时的做法（https://www.luogu.com.cn/blog/ix-35/general-physics-ii-w2-electrostatics ）引入之后的内容。

安培环路定理-旋度方程

对旋度方程用格林公式，考虑一个边界为 \gamma 的曲面 \Sigma：

\oint_{\gamma}\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf l=\int_{\Sigma}(\nabla\times\mathbf B)\cdot\mathrm d\mathbf S=\mu_0\int_{\Sigma}\mathbf j\cdot\mathrm d\mathbf S=\mu_0I.

这个称为安培环路定理。

例子：用安培环路定理计算直导线中电流产生的磁场。根据对称性，磁场方向是切向的，且大小仅与到导线的距离有关，设为 \mathbf B(\mathbf r)=B(r)\times \mathbf e_{\theta}。

考虑轴为导线的半径为 r 的圆，根据安培环路定理，

2\pi r\times B(r)=\mu_0 I.

因此

B(r)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}.

不过，这里的对称性似乎没有其在高斯定律的应用中展示地那么显然了，因为旋度相比散度来说是个更加抽象的东西。

在物理上，类似角动量、磁场这样的东西被称为轴矢量，与一般的向量即极矢量相对。轴矢量一般是极矢量叉乘得到的，例如 \mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p（\mathbf B 的显式表达可以看毕奥-萨伐尔定律）。我们将两个极矢量分解成沿镜面方向和垂直镜面方向的分量，\mathbf a=\mathbf a_t+\mathbf a_n,\ \mathbf b=\mathbf b_t+\mathbf b_n，考虑 \mathbf c=\mathbf a\times \mathbf b=\mathbf c_t+\mathbf c_n。我们有

\mathbf c_t=\mathbf a_t\times \mathbf b_n+\mathbf a_n\times \mathbf b_t,\quad \mathbf c_n=\mathbf a_t\times \mathbf b_t.

现在对空间施加一镜像变换，得到 \mathbf a'=\mathbf a_t-\mathbf a_n,\ \mathbf b'=\mathbf b_t-\mathbf b_n，此时再计算 \mathbf c'=\mathbf a'\times \mathbf b'=\mathbf c'_t+\mathbf c'_n，我们有

\mathbf c'_t=-(\mathbf a_t\times \mathbf b_n+\mathbf a_n\times \mathbf b_t),\quad \mathbf c'_n=\mathbf a_t\times \mathbf b_t.

因此，轴矢量经历镜像变换后平行分量取反，垂直分量不变，这和极矢量是恰好相反的。

不详细的揭秘

这一段的正确性不太能保证。

想要知道上述现象的原因，就要回到其数学本质。为了直观起见，我们首先考虑比较熟悉的角速度 \vec \omega。

我们说速度是一个向量，或极矢量，是因为它只有一个方向，它定义在一条线上。而角速度就不同，一个旋转的物体确定了不止一条线，而是一个平面。这表示角速度比速度要更“复杂”一些。

现在假使我们忘记了学过的微积分 A(2)，单纯考虑我们需要几个量来描述一个 n 维空间中的平面旋转——n=2 时只需要一个量，因为旋转只有顺时针和逆时针两种，我们可以用正负区分它们，而量的绝对值就是角速度的大小；n=3 时就是我们熟悉的角速度，它是一个有 3 个分量的向量，而当我们细究三个分量 \omega_x,\omega_y,\omega_z 分别代表什么的时候，我们会知道它们分别对应了旋转在 y-z,\ z-x,\ x-y 平面上的投影。

因此，对于 n 维空间，设其各个维度命名为 x_1,\ldots,x_n。我们将每一个向量（极矢量）(c_1,\ldots,c_n) 映射到如下的东西：

\omega=\sum_{i=1}^n c_i\mathrm dx_i.

再将一个“角速度之类的东西”映射到如下的东西：

\omega'=\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n u_{i,j}\mathrm dx_i\wedge \mathrm dx_j.

这样就完全符合我们的直觉了，即 n 维空间中有 \binom n 2 种线性无关的旋转，其中一组基就是由所有 x_i-x_j 平面上的旋转组成的。

上面的 \omega 这种形式叫做 1 形式，\omega' 则是 2 形式，在三维空间中它们恰好都有三个分量，所以都可以对应到一个向量（场）。但是实际上它们是不一样的。你可以认为两个向量叉积之后得到的向量已经在另一个空间了，而不是原来两个向量所在的空间。不过如果再要具体解释叉积的话好像就需要张量分析的知识了。

矢势-散度方程

既然 \nabla\cdot\mathbf B=0，我们就想到给它一个势能 \mathbf B=\nabla\times\mathbf A。这个势能同样是一个向量场，我们称它为矢势。

为了方便，我们还要求 \nabla\cdot\mathbf A=0（因为光有旋度还不足以确定一个向量场）。下面考虑旋度方程

\nabla\times(\nabla\times\mathbf A)=\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)-\nabla^2\mathbf A=\mu_0\mathbf j.

于是我们得到了

\nabla^2\mathbf A=\mu_0\mathbf j.

这和我们了解的泊松方程 \nabla^2\varphi=-\rho/\varepsilon_0 很相似。所以说，从 \rho 求解 \phi 的过程和从 \mathbf j 求解 \mathbf A 的过程是完全一样的。因此我们只需要会静电学的方法，就可以做静磁学的题。只不过静电学里求完 \varphi 后是求梯度得到 \mathbf E，而静磁学是求完 \mathbf A 后求旋度得到 \mathbf B。

回想前面提到的三种电流密度，上面已经看到 \mathbf j 对应 \rho，那么自然 \mathbf J 对应 \sigma，而 \mathbf I 对应 \lambda。点电荷没有对应，因为电流没办法在一个点上流。

电场和磁场的狭义相对性

考虑这样一个问题：一根导线中通有电流 I，导线旁边有一个以平行于导线速度 v 移动的点电荷 q。从导线参考系来看，运动的电荷受到磁场力，会发生垂直方向的运动；但是从电荷参考系来看，电荷是静止的不会受到磁场力，因此保持静止，这看似是一个矛盾。

这里需要用狭义相对论来解释。设 S,S' 分别为导线参考系和电荷参考系。在 S 中，导线内有正电荷分布 \rho_+ 和负电荷分布 \rho_-，且满足 \rho_+=\rho_-。我们假设正电荷不动 v_+=0，负电荷速度为 v_-=v（v_-\ne v 的情况留做作业）。那么 S 中 q 仅受到磁场力，大小为

F=qvB=\dfrac{qv\mu_0I}{2\pi r}=\dfrac{qv\mu_0 v\rho_-A}{2\pi r}.

其中 A 是导线截面积。下面我们要利用等式 c^2=\dfrac{1}{\varepsilon_0\mu_0}，得到

F=\dfrac{q\rho_-A}{2\pi\varepsilon_0 r}\times\dfrac{v^2}{c^2}.

现在考虑参考系 S'，设正负电荷分布分别为 \rho'_+,\rho'_-，我们有 v'_+=-v,v'_-=0，根据洛伦兹变换和电荷量的相对不变性，我们有

\rho'_+\times A\times \sqrt{1-v^2/c^2}L=\rho_+\times A\times L\Longrightarrow \rho'_+=\dfrac{\rho_+}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.

同理，

\rho_-\times A\times \sqrt{1-v^2/c^2}L=\rho'_-\times A\times L\Longrightarrow \rho'_-=\sqrt{1-v^2/c^2}\rho_-.

所以导线此时是带正电的，且线密度为

\lambda=(\rho'_+-\rho'_-)A=\dfrac{\rho_-Av^2/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.

计算 q 受到的电场力大小

F'=qE=q\times \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}=\dfrac{q\rho_-A}{2\pi\varepsilon_0 r}\times \dfrac{v^2}{c^2}\times \dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

我们发现 F' 和 F 并不相等，而是 F'=\dfrac{F}{\sqrt{1-v^2/c^2}}。这是因为 S' 是 q 的静止参考系，所以在 S 中 q 处事件的时间会拉长 \sqrt{1-v^2/c^2} 倍，这恰好导致了 F'\Delta t'=F\Delta t，因此整个系统的行为在两个参考系下是一致的。

在导线参考系下 q 只受到磁场作用，在 q 参考系下 q 只受到电场作用，这说明电场作用和磁场作用是可以在不同参考系下相互转换的。

毕奥-萨伐尔定律

理论上还没讲。