压轴题的正确姿势

Eznibuil · 2025-02-23 22:53:43 · 学习·文化课

已知函数 f(x)=e^x(x-3)+ax^2+2x+3，问 f(x) 零点个数。

考虑对 e^x 泰勒展开化为多项式，易知 0 处有俩重根。

除去，得 g(x)=\frac{f(x)}{x^2}，此时 g'(x) 中不含 a，可知 g'(x) 与 x 同正负，则 g(x) 最低点为 g(0)=a-\frac12，左侧最大为 a，右侧最大正无穷。

综上，f(x) 的零点个数当 a\le0 时为 2，0<a<\frac12 时为 3，\frac12\le a 时为 1。