2024 NJU信息（数学）综评 题目

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共 5 道简答题，每题 20 分，共 2h。

T1

有一个面积为 S 的正方形和 n 个半径为 1 的圆。这个正方形合法仅当对于其内部任意一个点，以它为圆心 1 为半径作圆，在这 n 个圆中至少有一个圆，满足其与这个圆相交或者重合。证明合法的 S \le 4\pi n。

T2

已知 x+\frac{1}{x}=1，令 t=x^{2024}+\frac{1}{x^{2024}}，比较 \sqrt[2024]{(2023-t)!} 和 \sqrt[2023]{(2024+t)!} 的大小关系。

T3

定义一种 $x, y, z, w, u$ 的填法的权值为 $\sum\limits_{i,j}(i-j)^2$，其中 $i,j \in \{a, b, c, d, x, y, z, w, u\}$ 且 $i$ 和 $j$ 之间有边相连。 求权值最小的一组 $x, y, z, w, u$。 ### T4 有一个定义域在大小为 $m$ 的环上（定义域为 $0,1,\dots m-1$）的函数 $u(k)$，满足 $u(k)$ 不全为 $0$。（$u(-1)=u(m-1),u(m)=u(0)$） 定义 $f(k)=2u(k)-u(k+1)-u(k-1)$。 定义 $a$ 为一个函数 $u(k)$ 的特征值，当且仅当对于任意 $0 \le k < m$，满足 $f(k)=a\times u(k)$。 （1）当 $a=0$ 时，求所有满足条件的函数 $u(k)$。 （2）求证，对于所有函数 $u(k)$，其特征值 $a$ 在 $[0, 4]$ 范围内。 ### T5 有一个 $n$ 条边的凸多边形，顶点为 $A_{1\dots n}$，其内部有一个点 $P$。定义$\angle{a_i}$ 为 $\angle{PA_{i}A_{i+1}}$。（$A_{n+1}$ 为 $A_1$） 求证 $\sum\limits_{i=1}^n cot(a_i) \ge \sum\limits_{i=1}^n cot(A_i)+\frac{n}{sin(\frac{2\pi}{n})}