Bernoulli 数及其级数
Gorenstein
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算法·理论
有符号 Bernoulli 数
$$
{\hat B}_n=\lim_{z\to 0}\frac{\text d^n}{\text dx^n}\left(\frac{z}{e^z-1}\right)
$$
由此定义可以直接看出：
$$
E_{\hat B}(z)=\frac{z}{e^z-1},\quad {\hat B}_n=\left[\frac{z^n}{n!}\right]\frac{z}{e^z-1}
$$
$\bf Proposition\;1.1.2
\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}{\hat B}_k=\delta(1,n)
Proof.
\begin{aligned}
{\hat B}_n+\delta(1,n)&=\left[\tfrac{z^n}{n!}\right]\big(E_{\hat B}(z)+z\big)\\
&=\left[\frac{z^n}{n!}\right]\left(\frac{z}{e^z-1}+z\right)=\left[\frac{z^n}{n!}\right]\frac{ze^z}{e^z-1}\\
&=n!\sum_{k=0}^n\frac{{\hat B}_k}{k!}\frac{1}{(n-k)!}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}{\hat B}_k
\end{aligned}
伯努利多项式
$$
B_{n}(z)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}{\hat B}_kz^{n-k}
$$
由定义知 $B_w(z)$ 是数列 ${\hat B}$ 与 $(z^{i})_{i}$ 的二项卷积；从而 Bernoulli 多项式的 EGF 为：
$$
{B}(z,w)=\frac{z}{e^{z}-1}\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}\frac{w^n}{n!}=\frac{ze^{zw}}{e^{z}-1}
$$
## 幂和级数
有符号 Bernoulli 数在幂和级数中占有重要的地位。
$\bf Definition\;1.2.1$（**幂和级数**）$\quad$幂和级数 $S_m(n)$ 及其二元 GF $S(z,w)$ 定义为：
$$
S_n(w)=\sum_{k=0}^{w-1}k^n,\quad
S(z,w)=\sum_{n=0}^{\infty}S_{n}(w)\frac{z^n}{n!}
$$
$\bf Theorem\;1.2.2
S(z,w)=\frac{e^{wz}-1}{e^{z}-1}
Proof.
\begin{aligned}
S(z,w)&=\sum_{n=0}^{\infty}S_{n}(w)\frac{z^n}{n!}=\sum_{k=0}^{w-1}\sum_{n=0}^{\infty}k^n\frac{z^n}{n!}\\
&=\sum_{k=0}^{w-1}e^{kz}=\frac{e^{wz}-1}{e^{z}-1}
\end{aligned}
由此可推知幂和级数与有符号 Bernoulli 数的 EGF 的联系。
\bf Chrollary\;1.2.3
S(z,w)=E_B(z)\frac{e^{wz}-1}{z}
至此，我们得出幂和级数与有符号伯努利数的关系。
\bf Theorem\;1.2.4
S_n(w)=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k}{\hat B}_kw^{n+1-k}
Proof.
\begin{aligned}
\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}&\binom{n+1}{k}{\hat B}_kw^{n+1-k}\\
=&\;n!\sum_{k=0}^{n}\frac{{\hat B}_k}{k!}\frac{w^{n+1-k}}{(n+1-k)!}=\left[\frac{z^n}{n!}\right]E_{\hat B}(z)\frac{e^
{wz}-1}{z}\\
=&\;\!\left[\frac{z^n}{n!}\right]S(z,w)=S_{n}(w)
\end{aligned}
$$
(n+1)f_{n}=g_{n+1}\;\Longrightarrow\; zE_f(z)=E_g(z)
$$
## 有符号伯努利数与 Stirling 数
根据 [Stirling 数](https://www.luogu.com.cn/blog/SalomeJLQ/Stirling-Number)的幂转换公式，我们尝试给出幂和级数的另一个表达。
$\bf Definition\;1.3.1\quad$我们定义一个函数的**差分算子** $\Delta F(n)=F(n+1)-F(n)$。
由定义立即得到：
$$
f(n)=\Delta F(n)\;\Longrightarrow\;\sum_{k=a}^{b-1}f(k)=F(b)-F(a)
$$
${\bf Lemma\;1.3.3}\quad\Delta x^{\underline n}=n\Delta x^{\underline{n-1}}\,.
\bf Corollary\;1.3.4\quad
\sum_{k=0}^nk^{\underline{m}}=\frac{n^{\underline{m+1}}}{m+1}
\bf Lemma\;1.3.5
x^n=\sum_{k=0}^n{n\brace k}x^{\underline k},\quad x^{\underline n}=\sum_{k=0}^n{n\brack k}(-1)^{n-k}x^k
其证明在这里给出。
从而我们可以使用斯特林数对幂和级数进行展开。
\begin{aligned}
S_n(w)&=\sum_{i=0}^{w-1}i^n=\sum_{i=0}^{w-1}\sum_{j=0}^{n}{n\brace j}i^{\underline{j}}=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{w-1}{n\brace i}j^{\underline{i}}\\
&=\sum_{i=0}^{n}{n\brace i}\frac{w^{\underline{i+1}}}{i+1}=\sum_{i=0}^{n}{n\brace i}\frac{1}{i+1}\sum_{j=0}^{i+1}(-1)^{i+1-j}{i+1\brack j}w^j
\end{aligned}
比对 \rm Theorem\,1.2.4 给出恒等式的系数，我们断言以下一个恒等式的成立。
\bf Theorem\;1.3.6
\frac{1}{n+1}\binom{n+1}{k}{\hat B}_{n+1-k}=\sum_{i=0}^{n}{n\brace i}{i+1\brack k}\frac{(-1)^{i+1-k}}{i+1}
Bernoulli 数及其级数
首先定义正式的 Bernoulli 数。它常给出比有符号 Bernoulli 数更简洁的形式。
$$
(e^z-1)^{-1}=\frac{1}{z}-\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{B_n}{(2n)!}z^{2n-1}
$$
其中 $B_n$ 称为 **Bernoulli 数**。
$\bf Proposition\;2.1.2\quad$直接比对系数可得 $B_n=(-1)^{n-1}{\hat B}_{2n}$。