【选修三】1.3 二项式定理和杨辉三角

· · 个人记录

二项式定理的基本应用

(a+b)^n = C_n^0 * a^n + C_n^1 * a^{n-1} * b + ··· + C_n^{n-1} * a * b^{n-1} + C_n^n * b^n

四个小概念

  1. 二项展开式：等号右边的展开式

  2. 二项式系数：C_n^r

  3. 二项展开式的通项（公式）：

第r+1项 C_n^r * a^{n-r}b^r

第r项 C_n^{(r-1)}a^{n-(r-1)}b^{r-1}

杨辉三角和二项式

杨辉三角上的每一个数都是一个组合数
由组合数的两个性质得来

二项式系数性质

  1. 对称性：与首末两端等距的两个二项式系数相等

  2. 每一行的数字都是逐渐增大，然后减小

n是偶数时，中间一项最大；n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值

  1. 第 n 行的和是 2^n

4.奇数项的和和偶数项的和相等

性质三证明：

赋值法

二项式定理中，令 a = b = 1;

(a+b)^n = 2^n C_n^0 + C_{n-1}^1 + ··· + C_0^n = 2^n

性质四证明：

二项式定理中，令 a = 1 , b = -1;

(a+b)^n = 0 --- 性质二证明： 找出数列中的最大项 -> 判断数列增减性 $ \dfrac{C_n^m}{C_n^{m-1}} = \dfrac{(n-r+1)}{r}$ 和 $1$ 比较大小