【学习笔记】计算几何全家桶
辰星凌
2019-12-26 15:54:15
# **【学习笔记】计算几何全家桶**
[$\color{red}{\mathcal{M}}\color{#fbe044}{\mathcal{y}}\ \ \color{green}{\mathcal{B}}\color{#46f1e7}{\mathcal{l}}\color{blue}{\mathcal{o}}\color{purple}{\mathcal{g}}$](https://www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/12102489.html)
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本来是不想码的，但总是忘记一些基本操作，还是记下来比较好。
## **一：【准备工作】**
```cpp
#define LD double
#define Vector Point
#define Re register int
const LD eps=1e-8;//据说：出题的大学生们基本上都是用的这个值
inline int dcmp(LD a){return a<-eps?-1:(a>eps?1:0);}//处理精度
inline LD Abs(LD a){return a*dcmp(a);}//取绝对值
struct Point{
LD x,y;Point(LD X=0,LD Y=0){x=X,y=Y;}
inline void in(){scanf("%lf%lf",&x,&y);}
inline void out(){printf("%.2lf %.2lf\n",x,y);}
};
```
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## **二：【向量】**
### **1.【模长】**
对于 $\vec{a}=(x,y),$ $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$ $=\sqrt{|\vec{a}|^{2}}$ $=\sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$ 。
```cpp
inline LD Len(Vector a){return sqrt(Dot(a,a));}//【模长】
```
### **2.【向量加减】**
对于 $\vec{a}=(x_{1},y_{1}),$ $\vec{b}=(x_{2},y_{2}),$ $\vec{a}+\vec{b}=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ 。
对于 $\vec{a}=(x_{1},y_{1}),$ $\vec{b}=(x_{2},y_{2}),$ $\vec{a}-\vec{b}=(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})$ 。
```cpp
inline Vector operator+(Vector a,Vector b){return Vector(a.x+b.x,a.y+b.y);}
inline Vector operator-(Vector a,Vector b){return Vector(a.x-b.x,a.y-b.y);}
```
### **3.【向量数乘（放缩）】**
对于 $\vec{a}=(x,y),$ $\lambda \vec{a}=(\lambda x,\lambda y)$ 。
除法也可以理解为数乘：$\frac{\vec{a}}{\lambda}=\frac{1}{\lambda}\vec{a}=(\frac{1}{\lambda} x,\frac{1}{\lambda} y)$ 。
```cpp
inline Vector operator*(Vector a,LD b){return Vector(a.x*b,a.y*b);}
```
### **4.【点积（内积）（数量积）】**
$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$ $(\theta=\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle)$ 。
对于 $\vec{a}=(x_{1}, y_{1}), \vec{b}=(x_{2}, y_{2}),$ $\vec{a} \cdot \vec{b}=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}$ 。
夹角 $\theta$ 与点积大小的关系：
$(1).$ 若 $\theta=0^{\circ},$ $\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|$ 。
$(2).$ 若 $\theta=180^{\circ},$ $\vec{a} \cdot \vec{b}=-|\vec{a}||\vec{b}|$ 。
$(3).$ 若 $\theta < 90^{\circ},$ $\vec{a} \cdot \vec{b}>0$ 。
$(4).$ 若 $\theta=90^{\circ},$ $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ 。
$(5).$ 若 $\theta > 90^{\circ},$ $\vec{a} \cdot \vec{b}<0$ 。
```cpp
inline LD Dot(Vector a,Vector b){return a.x*b.x+a.y*b.y;}//【点积】
```
### **5.【叉积（外积）（向量积）】**
$\vec{a} \times \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta$ $(\theta=\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle)$ 。
对于 $\vec{a}=(x_{1}, y_{1}), \vec{b}=(x_{2}, y_{2}),$ $\vec{a} \times \vec{b}=x_{1} y_{2}-y_{1} x_{2}$ 。
向量位置与叉积大小的关系：
$(1).$ 若 $\vec{a} \| \vec{b},$ $\vec{a} \times \vec{b}=0$ 。
$(2).$ 若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 右侧，$\vec{a} \times \vec{b}>0$ 。
$(3).$ 若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 左侧，$\vec{a} \times \vec{b}<0$ 。
```cpp
inline LD Cro(Vector a,Vector b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}//【叉积】
```
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## **三：【点、向量的位置变换】**
### **1.【点、向量的旋转】**
$(1).$ 对于点 $P=(x,y)$ 或向量 $\vec{a}=(x,y)$，将其顺时针旋转 $\theta$ 角度（点：关于原点，向量：关于起点）： $\begin{vmatrix}x&y\end{vmatrix}$ $\times$ $\begin{vmatrix}cos \theta & -sin \theta\\ sin \theta & cos \theta \end{vmatrix}$ $=$ $\begin{vmatrix}xcos \theta +ysin \theta &-xsin \theta + ycos \theta \end{vmatrix}$ 。
```cpp
inline Point turn_P(Point a,LD theta){//【点A\向量A顺时针旋转theta(弧度)】
LD x=a.x*cos(theta)+a.y*sin(theta);
LD y=-a.x*sin(theta)+a.y*cos(theta);
return Point(x,y);
}
```
$(2).$ 将点 $A(x,y)$ 绕点 $B(x_0,y_0)$ 顺时针旋转 $\theta$ 角度：$\begin{vmatrix}(x\!-\!x_0)cos \theta +(y\!-\!y_0)sin \theta + x_0 &-(x\!-\!x_0)sin \theta + (y\!-\!y_0)cos \theta + y_0 \end{vmatrix}$ 。
```cpp
inline Point turn_PP(Point a,Point b,LD theta){//【将点A绕点B顺时针旋转theta(弧度)】
LD x=(a.x-b.x)*cos(theta)+(a.y-b.y)*sin(theta)+b.x;
LD y=-(a.x-b.x)*sin(theta)+(a.y-b.y)*cos(theta)+b.y;
return Point(x,y);
}
```
- [$\text{Board Wrapping [Uva10652]}$](https://www.luogu.com.cn/problem/UVA10652)
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## **四：【图形与图形之间的关系】**
### **1.【点与线段】**
$(1).$ 判断点 $P$ 是否在线段 $AB$ 上：
```cpp
inline int pan_PL(Point p,Point a,Point b){//【判断点P是否在线段AB上】
return !dcmp(Cro(p-a,b-a))&&dcmp(Dot(p-a,p-b))<=0;//做法一
// return !dcmp(Cro(p-a,b-a))&&dcmp(min(a.x,b.x)-p.x)<=0&&dcmp(p.x-max(a.x,b.x))<=0&&dcmp(min(a.y,b.y)-p.y)<=0&&dcmp(p.y-max(a.y,b.y))<=0;//做法二
//PA,AB共线且P在AB之间(其实也可以用len(p-a)+len(p-b)==len(a-b)判断，但是精度损失较大)
}
```
$(2).$ 点 $P$ 到线段 $AB$ 的距离：
```cpp
inline bool operator==(Point a,Point b){return !dcmp(a.x-b.x)&&!dcmp(a.y-b.y);}//两点坐标重合则相等
inline LD dis_PL(Point p,Point a,Point b){//【点P到线段AB距离】
if(a==b)return Len(p-a);//AB重合
Vector x=p-a,y=p-b,z=b-a;
if(dcmp(Dot(x,z))<0)return Len(x);//P距离A更近
if(dcmp(Dot(y,z))>0)return Len(y);//P距离B更近
return Abs(Cro(x,z)/Len(z));//面积除以底边长
}
```
- [**【模板】** $\text{Railway}$ $\text{[Uva10263]}$](https://www.luogu.com.cn/problem/UVA10263)
[**【题解】** $\text{Xing_Ling}$](https://www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/12102783.html)
### **2.【点与直线】**
$(1).$ 判断点 $P$ 是否在直线 $AB$ 上：
```cpp
inline int pan_PL_(Point p,Point a,Point b){//【判断点P是否在直线AB上】
return !dcmp(Cro(p-a,b-a));//PA,AB共线
}
```
$(2).$ 点 $P$ 到直线 $AB$ 的垂足 $F$：
```cpp
inline Point FootPoint(Point p,Point a,Point b){//【点P到直线AB的垂足】
Vector x=p-a,y=p-b,z=b-a;
LD len1=Dot(x,z)/Len(z),len2=-1.0*Dot(y,z)/Len(z);//分别计算AP,BP在AB,BA上的投影
return a+z*(len1/(len1+len2));//点A加上向量AF
}
```
$(3).$ 点 $P$ 关于直线 $AB$ 的对称点：
```cpp
inline Point Symmetry_PL(Point p,Point a,Point b){//【点P关于直线AB的对称点】
return p+(FootPoint(p,a,b)-p)*2;//将PF延长一倍即可
}
```
- [折纸 $\text{origami [SCOI2007] [P4468]}$](https://www.luogu.com.cn/problem/P4468) [$\text{[Bzoj1074]}$](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1074)
[**【题解】** $\text{Xing_Ling}$](https://www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/12120274.html)
### **3.【线与线】**
$(1).$ 两直线 $AB,CD$ 的交点 $Q$：
```cpp
inline Point cross_LL(Point a,Point b,Point c,Point d){//【两直线AB,CD的交点】
Vector x=b-a,y=d-c,z=a-c;
return a+x*(Cro(y,z)/Cro(x,y));//点A加上向量AF
}
```
$(2).$ 判断直线 $AB$ 与线段 $CD$ 是否相交：
```cpp
inline int pan_cross_L_L(Point a,Point b,Point c,Point d){//【判断直线AB与线段CD是否相交】
return pan_PL(cross_LL(a,b,c,d),c,d);//直线AB与直线CD的交点在线段CD上
}
```
$(3).$ 判断两线段 $AB,CD$ 是否相交：
```cpp
inline int pan_cross_LL(Point a,Point b,Point c,Point d){//【判断两线段AB,CD是否相交】
LD c1=Cro(b-a,c-a),c2=Cro(b-a,d-a);
LD d1=Cro(d-c,a-c),d2=Cro(d-c,b-c);
return dcmp(c1)*dcmp(c2)<0&&dcmp(d1)*dcmp(d2)<0;//分别在两侧
}
```
- [切割多边形 $\text{[SCOI2003] [P4529]}$](https://www.luogu.com.cn/problem/P4529) [$\text{[Bzoj1091]}$](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1091)
[**【题解】** $\text{Xing_Ling}$](https://www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/12116733.html)
### **4.【点与多边形】**
$(1).$ 判断点 $A$ 是否在任意多边形 $Poly$ 以内（射线法）：
```cpp
inline int PIP(Point *P,Re n,Point a){//【射线法】判断点A是否在任意多边形Poly以内
Re cnt=0;LD tmp;
for(Re i=1;i<=n;++i){
Re j=i<n?i+1:1;
if(pan_PL(a,P[i],P[j]))return 2;//点在多边形上
if(a.y>=min(P[i].y,P[j].y)&&a.y<max(P[i].y,P[j].y))//纵坐标在该线段两端点之间
tmp=P[i].x+(a.y-P[i].y)/(P[j].y-P[i].y)*(P[j].x-P[i].x),cnt+=dcmp(tmp-a.x)>0;//交点在A右方
}
return cnt&1;//穿过奇数次则在多边形以内
}
```
- [**【模板】** $\text{Cupid's Arrow}$ $\text{[Hdu1756]}$](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1756)
$(2).$ 判断点 $A$ 是否在凸多边形 $Poly$ 以内（二分法）：
```cpp
inline int judge(Point a,Point L,Point R){//判断AL是否在AR右边
return dcmp(Cro(L-a,R-a))>0;//必须严格以内
}
inline int PIP_(Point *P,Re n,Point a){//【二分法】判断点A是否在凸多边形Poly以内
//点按逆时针给出
if(judge(P[1],a,P[2])||judge(P[1],P[n],a))return 0;//在P[1_2]或P[1_n]外
if(pan_PL(a,P[1],P[2])||pan_PL(a,P[1],P[n]))return 2;//在P[1_2]或P[1_n]上
Re l=2,r=n-1;
while(l<r){//二分找到一个位置pos使得P[1]_A在P[1_pos],P[1_(pos+1)]之间
Re mid=l+r+1>>1;
if(judge(P[1],P[mid],a))l=mid;
else r=mid-1;
}
if(judge(P[l],a,P[l+1]))return 0;//在P[pos_(pos+1)]外
if(pan_PL(a,P[l],P[l+1]))return 2;//在P[pos_(pos+1)]上
return 1;
}
```
- [**【模板】** 凸多边形 $\text{[hrbust1429]}$](http://acm.hrbust.edu.cn/vj/index.php?c=problem-problem&id=55043)
- [$\text{Saint John Festival [Uva13024]}$](https://www.luogu.com.cn/problem/UVA13024)
- [$\text{SCUD Busters [Uva109]}$](https://www.luogu.com.cn/problem/UVA109)
### **5.【线与多边形】**
$(1).$ 判断线段 $AB$ 是否在任意多边形 $Poly$ 以内：不相交且两端点 $A,B$ 均在多边形以内。
$(2).$ 判断线段 $AB$ 是否在凸多边形 $Poly$ 以内：两端点 $A,B$ 均在多边形以内。
### **6.【多边形与多边形】**
$(1).$ 判断任意两个多边形是否相离：属于不同多边形的任意两边都不相交 且 一个多边形上的任意点都不被另一个多边形所包含。
```cpp
inline int judge_PP(Point *A,Re n,Point *B,Re m){//【判断多边形A与多边形B是否相离】
for(Re i1=1;i1<=n;++i1){
Re j1=i1<n?i1+1:1;
for(Re i2=1;i2<=m;++i2){
Re j2=i2<m?i2+1:1;
if(pan_cross_LL(A[i1],A[j1],B[i2],B[j2]))return 0;//两线段相交
if(PIP(B,m,A[i1])||PIP(A,n,B[i2]))return 0;//点包含在内
}
}
return 1;
}
```
- [**【模板】** $\text{The Great Divide [Uva10256]}$](https://www.luogu.com.cn/problem/UVA10256)
[**【题解】** $\text{Xing_Ling}$](https://www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/12102125.html)
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## **五：【图形面积】**
### **1.【任意多边形面积】**
```cpp
inline LD PolyArea(Point *P,Re n){//【任意多边形P的面积】
LD S=0;
for(Re i=1;i<=n;++i)S+=Cro(P[i],P[i<n?i+1:1]);
return S/2.0;
}
```
- [**【模板】** 多边形的面积 $\text{[P1183]}$](https://www.luogu.com.cn/problem/P1183)
- [$\text{SCUD Busters [Uva109]}$](https://www.luogu.com.cn/problem/UVA109)
- [$\text{Board Wrapping [Uva10652]}$](https://www.luogu.com.cn/problem/UVA10652)
### **2.【圆的面积并】**
自适应辛普森法~~乱搞~~。
- [**【模板】** $\text{CIRU - The area of the union of circles [SP8073]}$](https://www.luogu.com.cn/problem/SP8073) \ [圆的面积并 $\text{[Bzoj2178]}$](https://oi-archive.memset0.cn/problem/bzoj/2178)
[**【题解】** $\text{Xing_Ling}$](https://www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/12102489.html)
### **3.【三角形面积并】**
自适应辛普森法~~乱搞~~。
或者扫描线？wo太菜了不会写。
- [**【模板】** 三角形 $\text{[P1222]}$](https://www.luogu.com.cn/problem/P1222) \ [三角形覆盖问题 $\text{[HNOI2012] [P3219]}$](https://www.luogu.com.cn/problem/P3219)
[**【题解】** $\text{Xing_Ling}$](https://www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/12109838.html)
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## **六：【凸包】**
### **1.【求凸包】**
$(1).$ $\text{Graham}$ 扫描法
```cpp
inline bool cmp1(Vector a,Vector b){return a.x==b.x?a.y<b.y:a.x<b.x;};//按坐标排序
inline int ConvexHull(Point *P,Re n,Point *cp){//【水平序Graham扫描法（Andrew算法）】求凸包
sort(P+1,P+n+1,cmp1);
Re t=0;
for(Re i=1;i<=n;++i){//下凸包
while(t>1&&dcmp(Cro(cp[t]-cp[t-1],P[i]-cp[t-1]))<=0)--t;
cp[++t]=P[i];
}
Re St=t;
for(Re i=n-1;i>=1;--i){//上凸包
while(t>St&&dcmp(Cro(cp[t]-cp[t-1],P[i]-cp[t-1]))<=0)--t;
cp[++t]=P[i];
}
return --t;//要减一
}
```
- [**【模板】** 二维凸包 / 圈奶牛 $\text{Fencing the Cows [USACO5.1] [P2742]}$ ](https://www.luogu.com.cn/problem/P2742)
- [$\text{Wall [Uva1303]}$](https://www.luogu.com.cn/problem/UVA1303)
- [信用卡凸包 $\text{[SHOI2012] [P3829]}$](https://www.luogu.com.cn/problem/P3829)
### **2.【旋转卡壳】**
（这玩意儿有 $2*2*2*3=24$ 种读音）
```cpp
Rd Ans=Len(cp[2]-cp[1]);
for(Re i=1,j=3;i<=cnt;++i){
while(dcmp(Cro(cp[i+1]-cp[i],cp[j]-cp[i])-Cro(cp[i+1]-cp[i],cp[j+1]-cp[i]))<0)j=j<cnt?j+1:1;//注意是<0，如果写<=0的话可能会被两个点的数据卡掉
Ans=max(Ans,max(Len(cp[j]-cp[i]),Len(cp[j]-cp[i+1])));//求最远距离
}
```
- [**【模板】** 旋转卡壳 / $\text{Beauty Contest [P1452]}$](https://www.luogu.com.cn/problem/P1452)
### **3.【半平面交】**
```cpp
struct Line{
Point a,b;LD k;Line(Point A=Point(0,0),Point B=Point(0,0)){a=A,b=B,k=atan2(b.y-a.y,b.x-a.x);}
inline bool operator<(const Line &O)const{return dcmp(k-O.k)?dcmp(k-O.k)<0:judge(O.a,O.b,a);}//如果角度相等则取左边的
}L[N],Q[N];
inline Point cross(Line L1,Line L2){return cross_LL(L1.a,L1.b,L2.a,L2.b);}//获取直线L1,L2的交点
inline int judge(Line L,Point a){return dcmp(Cro(a-L.a,L.b-L.a))>0;}//判断点a是否在直线L的右边
inline int halfcut(Line *L,Re n,Point *P){//【半平面交】
sort(L+1,L+n+1);Re m=n;n=0;
for(Re i=1;i<=m;++i)if(i==1||dcmp(L[i].k-L[i-1].k))L[++n]=L[i];
Re h=1,t=0;
for(Re i=1;i<=n;++i){
while(h<t&&judge(L[i],cross(Q[t],Q[t-1])))--t;//当队尾两个直线交点不是在直线L[i]上或者左边时就出队
while(h<t&&judge(L[i],cross(Q[h],Q[h+1])))++h;//当队头两个直线交点不是在直线L[i]上或者左边时就出队
Q[++t]=L[i];
}
while(h<t&&judge(Q[h],cross(Q[t],Q[t-1])))--t;
while(h<t&&judge(Q[t],cross(Q[h],Q[h+1])))++h;
n=0;
for(Re i=h;i<=t;++i)P[++n]=cross(Q[i],Q[i<t?i+1:h]);
return n;
}
```
- [**【模板】** 半平面交 / 凸多边形 $\text{[CQOI2006] [P4196]}$](https://www.luogu.com.cn/problem/P4196) [$\text{[Bzoj2618]}$](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2618)
### **4.【闵可夫斯基和】**
```cpp
Vector V1[N],V2[N];
inline int Mincowski(Point *P1,Re n,Point *P2,Re m,Vector *V){//【闵可夫斯基和】求两个凸包{P1},{P2}的向量集合{V}={P1+P2}构成的凸包
for(Re i=1;i<=n;++i)V1[i]=P1[i<n?i+1:1]-P1[i];
for(Re i=1;i<=m;++i)V2[i]=P2[i<m?i+1:1]-P2[i];
Re t=0,i=1,j=1;V[++t]=P1[1]+P2[1];
while(i<=n&&j<=m)++t,V[t]=V[t-1]+(dcmp(Cro(V1[i],V2[j]))>0?V1[i++]:V2[j++]);
while(i<=n)++t,V[t]=V[t-1]+V1[i++];
while(j<=m)++t,V[t]=V[t-1]+V2[j++];
return t;
}
```
- [**【模板】** 战争 $\text{[JSOI2018] [P4557]}$](https://www.luogu.com.cn/problem/P4557) [$\text{[Bzoj5317]}$](http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5317)
- [$\text{Mogohu-Rea Idol}$](https://www.luogu.com.cn/problem/CF87E) [$\text{[CF87E]}$](http://codeforces.com/problemset/problem/87/E)
### **5.【动态凸包】**
```cpp
struct ConvexHull{
int op;set<Point>s;
inline int PIP(Point P){
IT it=s.lower_bound(Point(P.x,-inf));//找到第一个横坐标大于P的点
if(it==s.end())return 0;
if(it->x==P.x)return (P.y-it->y)*op<=0;//比较纵坐标大小
if(it==s.begin())return 0;
IT j=it,k=it;--j;return Cro(P-*j,*k-*j)*op>=0;//看叉姬
}
inline int judge(IT it){
IT j=it,k=it;
if(j==s.begin())return 0;--j;
if(++k==s.end())return 0;
return Cro(*it-*j,*k-*j)*op>=0;//看叉姬
}
inline void insert(Point P){
if(PIP(P))return;//如果点P已经在凸壳上或凸包里就不插入了
IT tmp=s.lower_bound(Point(P.x,-inf));if(tmp!=s.end()&&tmp->x==P.x)s.erase(tmp);//特判横坐标相等的点要去掉
s.insert(P);IT it=s.find(P),p=it;
if(p!=s.begin()){--p;while(judge(p)){IT tmp=p--;s.erase(tmp);}}
if((p=++it)!=s.end())while(judge(p)){IT tmp=p++;s.erase(tmp);}
}
}up,down;
int x,y,T,op;
int main(){
// freopen("123.txt","r",stdin);
in(T),up.op=1,down.op=-1;
while(T--){
in(op),P.In();
if(op<2)up.insert(P),down.insert(P);//插入点P
else puts((up.PIP(P)&&down.PIP(P))?"YES":"NO");//判断点P是否在凸包内
}
}
```
- [**【模板】** $\text{Professor's task}$](https://www.luogu.com.cn/problem/CF70D) [$\text{[CF70D]}$](http://codeforces.com/problemset/problem/70/D)
------
## **七：【圆】**
### **1.【三点确定一圆】**
$(1).$ 暴力解方程：
设 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，圆心为 $O$，半径为 $r$，带入三点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$，解得：
$\begin{cases} D=\frac{(x_2^2+y_2^2-x_3^2-y_3^2)(y_1-y_2)-(x_1^2+y_1^2-x_2^2-y_2^2)(y_2-y_3)}{(x_1-x_2)(y_2-y_3)-(x_2-x_3)(y_1-y_2)} \\ E=\frac{x_1^2+y_1^2-x_2^2-y_2^2+D(x_1-x_2)}{y_2-y_1} \\ F=-(x_1^2+y_1^2+Dx_1+Ey_1) \\ O=(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}) \\ r=\frac{D^2+E^2-4F}{4} \end{cases}$
```cpp
#define S(a) ((a)*(a))
struct Circle{Point O;LD r;Circle(Point P,LD R=0){O=P,r=R;}};
inline Circle getCircle(Point A,Point B,Point C){//【三点确定一圆】暴力解方程
LD x1=A.x,y1=A.y,x2=B.x,y2=B.y,x3=C.x,y3=C.y;
LD D=((S(x2)+S(y2)-S(x3)-S(y3))*(y1-y2)-(S(x1)+S(y1)-S(x2)-S(y2))*(y2-y3))/((x1-x2)*(y2-y3)-(x2-x3)*(y1-y2));
LD E=(S(x1)+S(y1)-S(x2)-S(y2)+D*(x1-x2))/(y2-y1);
LD F=-(S(x1)+S(y1)+D*x1+E*y1);
return Circle(Point(-D/2.0,-E/2.0),sqrt((S(D)+S(E)-4.0*F)/4.0));
}
```
$(2).$ 向量求三角形垂心：
```cpp
inline Circle getcircle(Point A,Point B,Point C){//【三点确定一圆】向量垂心法
Point P1=(A+B)*0.5,P2=(A+C)*0.5;
Point O=cross_LL(P1,P1+Normal(B-A),P2,P2+Normal(C-A));
return Circle(O,Len(A-O));
}
```
- [**【模板】** $\text{Circle Through Three Points [Uva190]}$](https://www.luogu.com.cn/problem/UVA190)
- [$\text{The Last Hole!}$](https://www.luogu.com.cn/problem/CF274C) [$\text{[CF274C]}$](http://codeforces.com/problemset/problem/274/C)
[**【题解】** $\text{Xing_Ling}$](https://www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/12455736.html)
### **2.【最小覆盖圆】**
**【定理】** 如果点 $p$ 不在集合 $\{S\}$ 的最小覆盖圆内，则 $p$ 一定在 $\{S\}\cup{p}$ 的最小覆盖圆上。
```cpp
inline int PIC(Circle C,Point a){return dcmp(Len(a-C.O)-C.r)<=0;}//判断点A是否在圆C内
inline void Random(Point *P,Re n){for(Re i=1;i<=n;++i)swap(P[i],P[rand()%n+1]);}//随机一个排列
inline Circle Min_Circle(Point *P,Re n){//【求点集P的最小覆盖圆】
// random_shuffle(P+1,P+n+1);
Random(P,n);Circle C=Circle(P[1],0);
for(Re i=2;i<=n;++i)if(!PIC(C,P[i])){
C=Circle(P[i],0);
for(Re j=1;j<i;++j)if(!PIC(C,P[j])){
C.O=(P[i]+P[j])*0.5,C.r=Len(P[j]-C.O);
for(Re k=1;k<j;++k)if(!PIC(C,P[k]))C=getcircle(P[i],P[j],P[k]);
}
}
return C;
}
```
- [**【模板】** 信号塔 $\text{[AHOI2012] [P2533]}$](https://www.luogu.com.cn/problem/P2533)
- [**【模板】** 最小圆覆盖 $\text{[P1742]}$](https://www.luogu.com.cn/problem/P1742)
### **3.【三角剖分】**
```cpp
inline LD calc(Point A,Point B,Point O,LD R){//【三角剖分】
if(A==O||B==O)return 0;
Re op=dcmp(Cro(A-O,B-O))>0?1:-1;LD ans=0;
Vector x=A-O,y=B-O;
Re flag1=dcmp(Len(x)-R)>0,flag2=dcmp(Len(y)-R)>0;
if(!flag1&&!flag2)ans=Abs(Cro(A-O,B-O))/2.0;//两个点都在里面
else if(flag1&&flag2){//两个点都在外面
if(dcmp(dis_PL(O,A,B)-R)>=0)ans=R*R*Angle(x,y)/2.0;//完全包含了圆弧
else{//分三段处理 △+圆弧+△
if(dcmp(Cro(A-O,B-O))>0)swap(A,B);//把A换到左边
Point F=FootPoint(O,A,B);LD lenx=Len(F-O),len=sqrt(R*R-lenx*lenx);
Vector z=turn_P(F-O,Pi/2.0)*(len/lenx);Point B_=F+z,A_=F-z;
ans=R*R*(Angle(A-O,A_-O)+Angle(B-O,B_-O))/2.0+Cro(B_-O,A_-O)/2.0;
}
}
else{//一个点在里面，一个点在外面
if(flag1)swap(A,B);//使A为里面的点，B为外面的点
Point F=FootPoint(O,A,B);LD lenx=Len(F-O),len=sqrt(R*R-lenx*lenx);
Vector z=turn_P(F-O,Pi/2.0)*(len/lenx);Point C=dcmp(Cro(A-O,B-O))>0?F-z:F+z;
ans=Abs(Cro(A-O,C-O))/2.0+R*R*Angle(C-O,B-O)/2.0;
}
return ans*op;
}
```
- [**【模板】** $\text{A Triangle and a Circle [Poj2986]}$](http://poj.org/problem?id=2986)
------
## **【计算几何全家桶 Code】**
```cpp
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
/*一：【准备工作】*/
#define LD double
#define LL long long
#define Re register int
#define Vector Point
using namespace std;
const int N=262144+3;
const LD eps=1e-8,Pi=acos(-1.0);
inline int dcmp(LD a){return a<-eps?-1:(a>eps?1:0);}//处理精度
inline LD Abs(LD a){return a*dcmp(a);}//取绝对值
struct Point{
LD x,y;Point(LD X=0,LD Y=0){x=X,y=Y;}
inline void in(){scanf("%lf%lf",&x,&y);}
inline void out(){printf("%.2lf %.2lf\n",x,y);}
};
/*二：【向量】*/
inline LD Dot(Vector a,Vector b){return a.x*b.x+a.y*b.y;}//【点积】
inline LD Cro(Vector a,Vector b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}//【叉积】
inline LD Len(Vector a){return sqrt(Dot(a,a));}//【模长】
inline LD Angle(Vector a,Vector b){return acos(Dot(a,b)/Len(a)/Len(b));}//【两向量夹角】
inline Vector Normal(Vector a){return Vector(-a.y,a.x);}//【法向量】
inline Vector operator+(Vector a,Vector b){return Vector(a.x+b.x,a.y+b.y);}
inline Vector operator-(Vector a,Vector b){return Vector(a.x-b.x,a.y-b.y);}
inline Vector operator*(Vector a,LD b){return Vector(a.x*b,a.y*b);}
inline bool operator==(Point a,Point b){return !dcmp(a.x-b.x)&&!dcmp(a.y-b.y);}//两点坐标重合则相等
/*三：【点、向量的位置变换】*/
/*1.【点、向量的旋转】*/
inline Point turn_P(Point a,LD theta){//【点A\向量A顺时针旋转theta(弧度)】
LD x=a.x*cos(theta)+a.y*sin(theta);
LD y=-a.x*sin(theta)+a.y*cos(theta);
return Point(x,y);
}
inline Point turn_PP(Point a,Point b,LD theta){//【将点A绕点B顺时针旋转theta(弧度)】
LD x=(a.x-b.x)*cos(theta)+(a.y-b.y)*sin(theta)+b.x;
LD y=-(a.x-b.x)*sin(theta)+(a.y-b.y)*cos(theta)+b.y;
return Point(x,y);
}
/*四：【图形与图形之间的关系】*/
/*1.【点与线段】*/
inline int pan_PL(Point p,Point a,Point b){//【判断点P是否在线段AB上】
return !dcmp(Cro(p-a,b-a))&&dcmp(Dot(p-a,p-b))<=0;//做法一
// return !dcmp(Cro(p-a,b-a))&&dcmp(min(a.x,b.x)-p.x)<=0&&dcmp(p.x-max(a.x,b.x))<=0&&dcmp(min(a.y,b.y)-p.y)<=0&&dcmp(p.y-max(a.y,b.y))<=0;//做法二
//PA,AB共线且P在AB之间(其实也可以用len(p-a)+len(p-b)==len(a-b)判断，但是精度损失较大)
}
inline LD dis_PL(Point p,Point a,Point b){//【点P到线段AB距离】
if(a==b)return Len(p-a);//AB重合
Vector x=p-a,y=p-b,z=b-a;
if(dcmp(Dot(x,z))<0)return Len(x);//P距离A更近
if(dcmp(Dot(y,z))>0)return Len(y);//P距离B更近
return Abs(Cro(x,z)/Len(z));//面积除以底边长
}
/*2.【点与直线】*/
inline int pan_PL_(Point p,Point a,Point b){//【判断点P是否在直线AB上】
return !dcmp(Cro(p-a,b-a));//PA,AB共线
}
inline Point FootPoint(Point p,Point a,Point b){//【点P到直线AB的垂足】
Vector x=p-a,y=p-b,z=b-a;
LD len1=Dot(x,z)/Len(z),len2=-1.0*Dot(y,z)/Len(z);//分别计算AP,BP在AB,BA上的投影
return a+z*(len1/(len1+len2));//点A加上向量AF
}
inline Point Symmetry_PL(Point p,Point a,Point b){//【点P关于直线AB的对称点】
return p+(FootPoint(p,a,b)-p)*2;//将PF延长一倍即可
}
/*3.【线与线】*/
inline Point cross_LL(Point a,Point b,Point c,Point d){//【两直线AB,CD的交点】
Vector x=b-a,y=d-c,z=a-c;
return a+x*(Cro(y,z)/Cro(x,y));//点A加上向量AF
}
inline int pan_cross_L_L(Point a,Point b,Point c,Point d){//【判断直线AB与线段CD是否相交】
return pan_PL(cross_LL(a,b,c,d),c,d);//直线AB与直线CD的交点在线段CD上
}
inline int pan_cross_LL(Point a,Point b,Point c,Point d){//【判断两线段AB,CD是否相交】
LD c1=Cro(b-a,c-a),c2=Cro(b-a,d-a);
LD d1=Cro(d-c,a-c),d2=Cro(d-c,b-c);
return dcmp(c1)*dcmp(c2)<0&&dcmp(d1)*dcmp(d2)<0;//分别在两侧
}
/*4.【点与多边形】*/
inline int PIP(Point *P,Re n,Point a){//【射线法】判断点A是否在任意多边形Poly以内
Re cnt=0;LD tmp;
for(Re i=1;i<=n;++i){
Re j=i<n?i+1:1;
if(pan_PL(a,P[i],P[j]))return 2;//点在多边形上
if(a.y>=min(P[i].y,P[j].y)&&a.y<max(P[i].y,P[j].y))//纵坐标在该线段两端点之间
tmp=P[i].x+(a.y-P[i].y)/(P[j].y-P[i].y)*(P[j].x-P[i].x),cnt+=dcmp(tmp-a.x)>0;//交点在A右方
}
return cnt&1;//穿过奇数次则在多边形以内
}
inline int judge(Point a,Point L,Point R){//判断AL是否在AR右边
return dcmp(Cro(L-a,R-a))>0;//必须严格以内
}
inline int PIP_(Point *P,Re n,Point a){//【二分法】判断点A是否在凸多边形Poly以内
//点按逆时针给出
if(judge(P[1],a,P[2])||judge(P[1],P[n],a))return 0;//在P[1_2]或P[1_n]外
if(pan_PL(a,P[1],P[2])||pan_PL(a,P[1],P[n]))return 2;//在P[1_2]或P[1_n]上
Re l=2,r=n-1;
while(l<r){//二分找到一个位置pos使得P[1]_A在P[1_pos],P[1_(pos+1)]之间
Re mid=l+r+1>>1;
if(judge(P[1],P[mid],a))l=mid;
else r=mid-1;
}
if(judge(P[l],a,P[l+1]))return 0;//在P[pos_(pos+1)]外
if(pan_PL(a,P[l],P[l+1]))return 2;//在P[pos_(pos+1)]上
return 1;
}
/*5.【线与多边形】*/
/*6.【多边形与多边形】*/
inline int judge_PP(Point *A,Re n,Point *B,Re m){//【判断多边形A与多边形B是否相离】
for(Re i1=1;i1<=n;++i1){
Re j1=i1<n?i1+1:1;
for(Re i2=1;i2<=m;++i2){
Re j2=i2<m?i2+1:1;
if(pan_cross_LL(A[i1],A[j1],B[i2],B[j2]))return 0;//两线段相交
if(PIP(B,m,A[i1])||PIP(A,n,B[i2]))return 0;//点包含在内
}
}
return 1;
}
/*五：【图形面积】*/
/*1.【任意多边形面积】*/
inline LD PolyArea(Point *P,Re n){//【任意多边形P的面积】
LD S=0;
for(Re i=1;i<=n;++i)S+=Cro(P[i],P[i<n?i+1:1]);
return S/2.0;
}
/*2.【圆的面积并】*/
/*3.【三角形面积并】*/
/*六：【凸包】*/
/*1.【求凸包】*/
inline bool cmp1(Vector a,Vector b){return a.x==b.x?a.y<b.y:a.x<b.x;};//按坐标排序
inline int ConvexHull(Point *P,Re n,Point *cp){//【水平序Graham扫描法（Andrew算法）】求凸包
sort(P+1,P+n+1,cmp1);
Re t=0;
for(Re i=1;i<=n;++i){//下凸包
while(t>1&&dcmp(Cro(cp[t]-cp[t-1],P[i]-cp[t-1]))<=0)--t;
cp[++t]=P[i];
}
Re St=t;
for(Re i=n-1;i>=1;--i){//上凸包
while(t>St&&dcmp(Cro(cp[t]-cp[t-1],P[i]-cp[t-1]))<=0)--t;
cp[++t]=P[i];
}
return --t;//要减一
}
/*2.【旋转卡壳】*/
/*3.【半平面交】*/
struct Line{
Point a,b;LD k;Line(Point A=Point(0,0),Point B=Point(0,0)){a=A,b=B,k=atan2(b.y-a.y,b.x-a.x);}
inline bool operator<(const Line &O)const{return dcmp(k-O.k)?dcmp(k-O.k)<0:judge(O.a,O.b,a);}//如果角度相等则取左边的
}L[N],Q[N];
inline Point cross(Line L1,Line L2){return cross_LL(L1.a,L1.b,L2.a,L2.b);}//获取直线L1,L2的交点
inline int judge(Line L,Point a){return dcmp(Cro(a-L.a,L.b-L.a))>0;}//判断点a是否在直线L的右边
inline int halfcut(Line *L,Re n,Point *P){//【半平面交】
sort(L+1,L+n+1);Re m=n;n=0;
for(Re i=1;i<=m;++i)if(i==1||dcmp(L[i].k-L[i-1].k))L[++n]=L[i];
Re h=1,t=0;
for(Re i=1;i<=n;++i){
while(h<t&&judge(L[i],cross(Q[t],Q[t-1])))--t;//当队尾两个直线交点不是在直线L[i]上或者左边时就出队
while(h<t&&judge(L[i],cross(Q[h],Q[h+1])))++h;//当队头两个直线交点不是在直线L[i]上或者左边时就出队
Q[++t]=L[i];
}
while(h<t&&judge(Q[h],cross(Q[t],Q[t-1])))--t;
while(h<t&&judge(Q[t],cross(Q[h],Q[h+1])))++h;
n=0;
for(Re i=h;i<=t;++i)P[++n]=cross(Q[i],Q[i<t?i+1:h]);
return n;
}
/*4.【闵可夫斯基和】*/
Vector V1[N],V2[N];
inline int Mincowski(Point *P1,Re n,Point *P2,Re m,Vector *V){//【闵可夫斯基和】求两个凸包{P1},{P2}的向量集合{V}={P1+P2}构成的凸包
for(Re i=1;i<=n;++i)V1[i]=P1[i<n?i+1:1]-P1[i];
for(Re i=1;i<=m;++i)V2[i]=P2[i<m?i+1:1]-P2[i];
Re t=0,i=1,j=1;V[++t]=P1[1]+P2[1];
while(i<=n&&j<=m)++t,V[t]=V[t-1]+(dcmp(Cro(V1[i],V2[j]))>0?V1[i++]:V2[j++]);
while(i<=n)++t,V[t]=V[t-1]+V1[i++];
while(j<=m)++t,V[t]=V[t-1]+V2[j++];
return t;
}
/*5.【动态凸包】*/
/*七：【圆】*/
/*1.【三点确定一圆】*/
#define S(a) ((a)*(a))
struct Circle{Point O;LD r;Circle(Point P,LD R=0){O=P,r=R;}};
inline Circle getCircle(Point A,Point B,Point C){//【三点确定一圆】暴力解方程
LD x1=A.x,y1=A.y,x2=B.x,y2=B.y,x3=C.x,y3=C.y;
LD D=((S(x2)+S(y2)-S(x3)-S(y3))*(y1-y2)-(S(x1)+S(y1)-S(x2)-S(y2))*(y2-y3))/((x1-x2)*(y2-y3)-(x2-x3)*(y1-y2));
LD E=(S(x1)+S(y1)-S(x2)-S(y2)+D*(x1-x2))/(y2-y1);
LD F=-(S(x1)+S(y1)+D*x1+E*y1);
return Circle(Point(-D/2.0,-E/2.0),sqrt((S(D)+S(E)-4.0*F)/4.0));
}
inline Circle getcircle(Point A,Point B,Point C){//【三点确定一圆】向量垂心法
Point P1=(A+B)*0.5,P2=(A+C)*0.5;
Point O=cross_LL(P1,P1+Normal(B-A),P2,P2+Normal(C-A));
return Circle(O,Len(A-O));
}
/*2.【最小覆盖圆】*/
inline int PIC(Circle C,Point a){return dcmp(Len(a-C.O)-C.r)<=0;}//判断点A是否在圆C内
inline void Random(Point *P,Re n){for(Re i=1;i<=n;++i)swap(P[i],P[rand()%n+1]);}//随机一个排列
inline Circle Min_Circle(Point *P,Re n){//【求点集P的最小覆盖圆】
// random_shuffle(P+1,P+n+1);
Random(P,n);Circle C=Circle(P[1],0);
for(Re i=2;i<=n;++i)if(!PIC(C,P[i])){
C=Circle(P[i],0);
for(Re j=1;j<i;++j)if(!PIC(C,P[j])){
C.O=(P[i]+P[j])*0.5,C.r=Len(P[j]-C.O);
for(Re k=1;k<j;++k)if(!PIC(C,P[k]))C=getcircle(P[i],P[j],P[k]);
}
}
return C;
}
/*3.【三角剖分】*/
inline LD calc(Point A,Point B,Point O,LD R){//【三角剖分】
if(A==O||B==O)return 0;
Re op=dcmp(Cro(A-O,B-O))>0?1:-1;LD ans=0;
Vector x=A-O,y=B-O;
Re flag1=dcmp(Len(x)-R)>0,flag2=dcmp(Len(y)-R)>0;
if(!flag1&&!flag2)ans=Abs(Cro(A-O,B-O))/2.0;//两个点都在里面
else if(flag1&&flag2){//两个点都在外面
if(dcmp(dis_PL(O,A,B)-R)>=0)ans=R*R*Angle(x,y)/2.0;//完全包含了圆弧
else{//分三段处理 △+圆弧+△
if(dcmp(Cro(A-O,B-O))>0)swap(A,B);//把A换到左边
Point F=FootPoint(O,A,B);LD lenx=Len(F-O),len=sqrt(R*R-lenx*lenx);
Vector z=turn_P(F-O,Pi/2.0)*(len/lenx);Point B_=F+z,A_=F-z;
ans=R*R*(Angle(A-O,A_-O)+Angle(B-O,B_-O))/2.0+Cro(B_-O,A_-O)/2.0;
}
}
else{//一个点在里面，一个点在外面
if(flag1)swap(A,B);//使A为里面的点，B为外面的点
Point F=FootPoint(O,A,B);LD lenx=Len(F-O),len=sqrt(R*R-lenx*lenx);
Vector z=turn_P(F-O,Pi/2.0)*(len/lenx);Point C=dcmp(Cro(A-O,B-O))>0?F-z:F+z;
ans=Abs(Cro(A-O,C-O))/2.0+R*R*Angle(C-O,B-O)/2.0;
}
return ans*op;
}
int main(){}
```