完全平方数猜想及其证明方法

MHY2025 · 2025-09-30 12:50:39 · 算法·理论

完全平方数猜想

设有一个集合 A，这个集合中包含所有的完全平方数，以及 2 和 3 。即 A=\{1,2,3,4,9,16,25...\} 。
完全平方数猜想指，所有的正整数都可以表示为集合 A 中若干个不同项的和。

准备

首先，考虑无数个集合 N(n)，N(n)=\{所有处在 1 与 n^2 之间的正整数\} 。
接着，考虑一个集合 C=\{所有符合该猜想的正整数\} 。
然后，考虑无数个多项式 Dc(n)，表示 n 用此方法的表示法。

证明

显而易见，猜想是正确的。
假设我们已经知道 N(n)∈C(n>2) 。那么，考虑每一个处在区间 [n^2 , (n+1)^2] 内的 M 。如果 M=(n+1)^2 或 M=n^2，那么 M 是完全平方数，所以 M∈C。

如果 M≠(n+1)^2 呢？这时，我们考虑使用类似于 Q+Dc(p)=M 的形式来表示 Dc(m)，其中 Q 是完全平方数。可以发现，Q 可以取 n^2 ，这时 p=M-n^2 。

那么，我们是否可以符合猜想要求地引用 Dc(p) 呢？可以，因为 p<n^2，所以 p∈N(n) ，而前面我们已经知道 N(n)∈C 了，可得 p∈C。
那么，也许 p≥n^2？不可能。回顾 p 的定义，它是 M-n^2，其中 M 小于 (n+1)^2。此时的 M 就算取 (n+1)^2 ， p的取值也只有 (n+1)^2-n^2=2n+1 ，然而，n>2，所以显而易见地， p<n^2 。
综上所述，只要 N(n)(n>2)∈C，任何一个在 [n^2 , (n+1)^2] 间取值的 M 都属于C。
不过，也许我们不知道 N(n)(n>2)∈C 。这时考虑 N(3) 。众所周知，3>2：

接下来，使用上述推论，N(4)∈C。比如Dc(15)=9+Dc(6)=9+4+2。
于是：

得到N(4)∈C
得到N(5)∈C
得到N(6)∈C
……
根据数学归纳法，得到对于任何n，N(n)∈C。
得到C=\{\mathbb{N}^+\}。