勾股定理学习笔记

M1__ · 2024-07-16 15:06:20 · 学习·文化课

第一章勾股定理

对于勾股定理，有约 500 种证明方法。常见的有数格子（见课本勾股数）、赵爽弦图（两种）、加菲尔德证法（总统图）、毕达哥拉斯证法、华蘅芳证法、百牛定理证法、商高定理证法、商高证法、刘徽证法、绉元智证法等。这里只列出常见的几种方法。

1.构建四个全等直角三角形，使得三角形的斜边为 c , 两条直角边分别为 a，b 。以斜边 c 的长度为边长，构建一个正方形。此时内部的小正方形边长为 a-b 。如图 1-1 ：

2.同理，构建四个全等直角三角形，使得三角形的斜边为 c , 两条直角边分别为 a，b 。以直角边 a，b 的长度为边长，构建一个正方形。此时内部的小正方形边长为 c 。如图 1-2 ：

作法：构建两个全等三角形，使得三角形的斜边为 c , 两条直角边分别为 a，b 。以斜边 c 的长度为边长，构建一个等腰直角三角形，拼接三个图形，使其成为一个梯形，如图 1-3 :

以上便是比较常见的证明方法，当然还有比较冷门的：

如图 1-4 ,分别表示出四边形 ABDC , 梯形 AEDC 和 \triangle EBD 的面积，列出方程即可。 S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}=\frac1 2AD\cdot BF+\frac1 2AD\cdot CF=\frac12AD(BF+CF)=\frac12AD\cdot BC=\frac 12c^2 $\therefore \frac 12c^2=\frac12(b+a)\ b+\frac1 2 (a-b)\ a \therefore \frac 12c^2=\frac 12b^2+\frac12 ab+\frac 12a^2-\frac12 ab \therefore a^2+b^2=c^2

当然，还有一种比较简单的方法名为数格子，这种证明方法所作的图形在后文毕达哥拉斯树（勾股树）会提到。

分别以 S1 , S2 的边长为直角三角形的斜边，构造等腰三角形。再以构造出的等腰三角形的两条直角边为边长，构建正方形。以此类推。重复若干次后，即可得到毕达哥拉斯树（勾股树）。

勾股定理，是一个基本的几何定理，中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

如图 2-1 , 三角形三边为 a,b,c , 若 a,b,c 满足 a^2+b^2=c^2 , 则 \triangle ABC 是直角三角形， \angle c=90°。

(3,4,5)
(8,6,10)
(5,12,13)
(15,8,17)
(7,24,25)
(24,10,26)
(21,20,29)
(16,30,34)
(9,40,41)
(35,12,37)
(11,60,61)
(48,14,50)

速算方法：求出前两个数的最大公约数，把前两个数转化为规模更小的数，再求出第三个数。例如 21,28 的最大公约数为 7 ，让他们分别除以这个最大公约数。求得 3,4 。根据勾股数求出这对数的第三个数为 5 ，再乘上文的最大公约数，得 5 \times 7=35 , 35 即为第三个数。

速算方法：逆用平方差公式+快速开根。解：设第三个数为 x 。
$x=\sqrt {2^2\times 12^2}=2 \times 12=24 $ .

分情况讨论：解：设第三个数为 x 。当 x^2+8^2=17^2 时，解得 x=15. 当 8^2+17^2=x^2 时，解得 x=\sqrt {353} .
$\therefore $ 舍去故答案为：$15$ 。