埃拉托色尼测地球
一只书虫仔
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个人记录
今天我们来聊聊三角函数。
正弦函数
正弦函数y=\sin x的图像叫正弦曲线。正弦函数的性质如下：
$2.$奇函数；
$3.$周期函数，最小正周期$T=2\pi
$5.$对称轴为$x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$，在对称轴处取到最值；
$6.$对称中心为$(k\pi,0)$，对称中心的横坐标为零点，其中$k\in\mathbb{Z}$。
（图像和余弦函数一块展示）
## 余弦函数
正弦曲线向左平移$\dfrac{\pi}{2}$个单位就得到**余弦函数**$y=\cos x$的图像**余弦曲线**。余弦函数是偶函数 ，一系列性质直接根据平移即可得到。正弦函数与余弦函数的图像如下：
## 正弦型函数
正弦型函数形如
$$y=A\sin(\omega x+\varphi)+h,A\ne 0$$
它的图像可以由正弦函数（或余弦函数）通过平移与伸缩变换得到，它的性质也可以由正弦函数与一次函数复合的复合函数的性质推导出来。正弦型函数的周期$T=\dfrac{2\pi}{|\omega|}$，$|A|$称为振幅。在解题时，有时可以通过诱导公式改变$\varphi$的值将$A,\omega$都调整成正数，方便处理问题。
（图像很难画我就不画了）
## 正切函数
正切函数$y=\tan x$的图象叫正切曲线，正切函数的性质如下
$1.$定义域为$\left\{x|x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\right\}$，值域为$\mathbb{R}$；
$2.$奇函数；
$3.$周期函数，最小正周期为$\pi$；
$4.$在$\left(-\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right)$上单调递增；
$5.$中心对称函数，对称中心为$\left(\dfrac{k\pi}{2},0\right)$，其中$k\in\mathbb{Z}$。
正切函数的图象如下：
## 任意角的三角函数定义
让角$\alpha$的顶点与坐标原点重合，始边在$x$轴正半轴上，则它的终边落在平面直角坐标系内，从角$\alpha$终边上任取一个异于原点的点$P(x,y)$，那么三角函数的定义如下：
$1.$正弦$\sin\alpha=\dfrac{y}{r}=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$；
$2.$余弦$\cos\alpha=\dfrac{x}{r}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$；
$3.$正切$\tan\alpha=\dfrac{y}{x}
4.$余切$\cot\alpha=\dfrac{x}{y}
5.$正割$\sec\alpha=\dfrac{r}{x}=\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{x}
6.$余割$\csc\alpha=\dfrac{r}{y}=\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{y}
正切、余切、正割、余割的定义需要分母不为零，所以有些终边在坐标轴上的点没有一些三角函数值。任意角的三角函数也可以通过角\alpha终边上的点与单位圆的交点的坐标去定义，此时r=\sqrt{x^2+y^2}=1。
下面来看看三角函数的正负号。
$2.$ $\cos\alpha,\sec\alpha$的值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；
$3.$ $\tan\alpha,\cot\alpha$的值在第一、三象限为正，第二、四象限为负。
好，我们今天就聊到这里。
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