震撼定理一则

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定理（Bernstine）：设 f(x)\in C[a,b]，对于任意 \varepsilon>0，都存在多项式 P(x) 使得 |f(x)-P(x)|<\varepsilon 对任意 x\in [a,b] 都成立。

我们有这样两个式子：

\sum_{k=0}^nk\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}=nx\,\cdots(\text{A}) \sum_{k=0}^n(k-nx)^2\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}=nx(1-x)\,\cdots(\text B)

这两个式子可以直接通过代数方法证明，也可以通过组合意义证明。

我们只需要证明 [a,b]=[0,1] 的情况，其余情况都可以转化到 [0,1] 上的问题。

记

B_n(x)=\sum_{k=0}^nf\left(\dfrac{k}{n}\right)\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}

由于闭区间上的连续函数必然一致连续，从而对于任意 \varepsilon>0，都存在 \delta>0 使得对任意 x_1,x_2\in [0,1]，若 |x_1-x_2|<\delta 则 |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon/2，按照 x-\frac kn<\varepsilon/2 是否满足分类，那么有

B_n(x)-f(x)=\sum_{x-\frac kn<\delta}\left(f\left(\dfrac kn\right)-f(x)\right)\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}+\sum_{(x-\frac kn)^2\ge\delta^2}\left(f\left(\dfrac kn\right)-f(x)\right)\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}

前一个求和号总有 |f(\frac kn)-f(x)|<\varepsilon/2，故前一个求和 <\varepsilon/2。

对于后一个求和号，由于闭区间上的连续函数都有界，不妨设 f(x)\in [-M/2,M/2]，对 (B) 式变形可知

|\sum_{(x-\frac kn)^2\ge\delta^2}\left(f\left(\dfrac kn\right)-f(x)\right)\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}|\le M\sum_{(x-\frac kn)^2\ge\delta^2}\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}\le M\dfrac{x(1-x)}{n\delta^2}

由于 x(1-x)\le 1/4，故当上式在 n\to+\infty 时 \to 0，故存在 n 使得上式 <\varepsilon/2，取如是 B_n(x)，则有命题成立，即证。