P16349 坊巷逸闻 题解

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你怎么知道我的平面几何是滚木？

如图，过点 F 作 FR \perp y 轴于点 R，FI \perp x 轴于点 I，过点 D 作 DH \perp x 轴于点 H 交 FR 于点 G，连接 EF。

由 F 为 CD 的中点，知 F\left(\dfrac{b+c}{2},\dfrac{a}{2}\right)，易证 \triangle DFG \cong \triangle FCI，则 S_{RFCA}-S_{BDFR}=S_{GFIH}=HI \cdot HG=\left(\dfrac{b+c}{2} - c\right) \cdot \dfrac{a}{2}=\dfrac{ab-ac}{4}。

又知 S_{AEFC}=S_{BEFD}，则 2S_{\triangle ERF}=\dfrac{ab-ac}{4}，则 ER=\dfrac{2S_{\triangle ERF}}{FR}=\dfrac{ab-ac}{2b+2c}。

则 AE=AR-ER=\boxed{\dfrac{a}{2}-\dfrac{ab-ac}{2b+2c}}。