General Physics II W3~4: Electrostatics(2)

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静电场——一些应用

关于上节的一个解释

上节中我们提到，对于库仑力有

F\propto \dfrac{1}{r^{2+\delta}}\quad (|\delta|<10^{-15}).

这个 \delta 实际上与光子静质量有关。光子静质量等于零等价于 F\propto \dfrac{1}{r^2}，这又等价于高斯定律成立。

在标准模型中有四种相互作用，每一种相互作用都需要一种玻色子（boson）作为媒介。

强相互作用 - 胶子（gluon）

弱相互作用 - Z 玻色子（Z bosons）

电磁相互作用 - 光子（photon）

引力相互作用 - 引力子（graviton）

作用的大小和作用距离都和相应的媒介粒子有关。

离子阱

考虑一个任意的电场 \mathbf E，对于其中某个没有电荷的点 p\ (\rho(p)=0)，有没有可能在这个点上放一个电荷（以正电荷为例）后在没有其他力的情况下能达到稳定的平衡？

答案是否定的，因为稳定平衡意味着 p 周围所有点的电场都指向 p，这表示 \nabla\cdot p<0，即 \rho(p)<0，矛盾。因此，如果我们要使得电荷稳定在 p 点，就要采取以下两种方式之一：

  1. 加上外力。例如将电荷放在一根细管中，这样它只能沿管的方向移动，我们可以控制电场沿管方向的稳定平衡。

  2. 将静电场改为变化的电场。下面详细说明。

考虑在 p 上下左右各放一个正电荷，现在上下左右四个方向都是稳定平衡的，但是比较斜的方向上是不稳定的；将上下左右的电荷改为负电荷，那么斜向是稳定平衡的，但是上下左右是不稳定的。于是我们通上交流电，使得上下左右的电荷不断在正负之间切换，在适当的情况下就可以保持稳定了。

上面所说的是平面上的情况，三维空间的情况是类似的，这个基本上就是离子阱的最基本原理（虽然实际上很复杂）。

导体

导体内部有大量（足够多）可以自由移动的电荷，它的性质可以概括为：导体是一个等势体。这其实暗含了以下几点：

  1. 导体的表面是一个等势面（因为电势处处相等）。

  2. 导体内部电场为零，导体表面电场方向垂直于表面。

  3. 导体内部没有净电荷，所有净电荷分布在表面。

考虑导体表面某一点 p，将 p 附近的部分视作一个平面将会得到 E_{\perp_1}(p)=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}，但我们还需要考虑导体其他部分在 p 处的电场。考虑 p 附近对 p 处向内的电场，由于导体内部电场为零，所以其他部分在 p 处的电场应该是向外的，且大小与 p 附近的相同，因此考虑向外的电场时就需要乘个 2，即

E_{\perp}(p)=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}

接下来我们考虑这样一个问题：如果在空间中有一些给定的电场分布，还有一个导体，那么导体中会出现感应电荷，如何求感应电荷的分布？如何求空间中任意一点在这个体系中的场强和电势呢？后者并不是一个简单的积分问题，因为它依赖于前者的求解。

唯一性定理

我们介绍唯一性定理：如果一个空间区域 \Omega 中电荷密度已知，且在边界 \partial\Omega 上每一点都已知如下两种边界条件之一：电势 \varphi 或电势沿 \partial\Omega 的法向导数 \dfrac{\partial\varphi}{\partial\mathbf n}，那么 \Omega 中的电场是唯一确定的。

证明：假设存在两种本质不同的电势（即相差不止一个常数） \varphi',\varphi'' 满足上述条件，考虑 U=\varphi'-\varphi''。我们有泊松公式 \Delta \varphi=-\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}，由于 \Omega 内电荷分布已知，所以 \Delta U=\Delta \varphi'-\Delta \varphi''=0。

考虑格林第一公式

\int_{\Omega}(u\Delta v+\nabla u\cdot\nabla v)\mathrm dV=\int_{\partial\Omega}u\dfrac{\partial v}{\partial \mathbf n}\mathrm dS.

带入 u=v=U，并利用 \Delta U=0 和边界条件 U=0 或 \dfrac{\partial U}{\partial\mathbf n}=0，得到

\int_{\Omega}(U\Delta U+(\nabla U)^2)\mathrm dV=\int_{\Omega}(\nabla U)^2\mathrm dV=0.

因此只有 \nabla U=0，即 U 是常数，矛盾。因此唯一性定理成立。

电像法

现在我们回到上面提出的问题。空间中有一定的固定电荷分布 \rho，还有若干个导体 C_1,\ldots,C_k，求空间中某一点处的电场。不妨认为要求的点 P 在所有导体外（因为导体内电场为零）。

考虑全空间减去所有导体，设为 \Omega。令 \Sigma_i 为 C_i 的边界，那么 \Omega 的边界就是所有的 \Sigma_i 加上无穷远处。\Omega 中的电荷分布 \rho 已知，无穷远处边界条件是 \varphi=0 已知，因此只要每个 \Sigma_i 边界条件都确定，那么空间中电场就是唯一的。而 \Sigma_i 的边界条件可以通过两种方式得到：

  1. 已知 C_i 的电荷量 Q_i（由此得到电场唯一性可以通过重新利用格林第一公式证明，是一道作业题）。

  2. 已知 C_i 的电势 \varphi_i（这就直接很多，就是我们前面提到的边界条件之一）。

那么如果满足唯一性条件，具体怎么求空间中（特别地，导体外）的电场呢？下面介绍电像法。

如果我们在导体 C_i 内部加入一些虚拟的电荷，然后移除导体 C_i。若进行这一操作后原本 C_i 的边界 \Sigma_i 电势不变，那么求解 \Omega 中电场时的边界条件就没有变化，同时电荷分布也没有变化（因为只有 C_i 内的电荷分布发生变化，而这不属于 \Omega），根据唯一性原理，求解得到的电场不会变化。

这些虚拟的电荷被称为电像。

所以我们就把一个导体化成了一些已知分布的电荷，于是可以使用传统的积分方法求解电场和电势。

例：考虑一个接地的导电无穷大平面 \Sigma，平面附近有一个点电荷 q，求 q 这一侧的空间电场分布。

解：用电像法。我们需要保证边界条件不变，即 \Sigma 的电势为零。不难想到，在 q 沿 \Sigma 的轴对称点处放一个电荷 -q 就能满足这一点。于是 q 这一侧的电场就可以被等效为只有 q,-q 两个点电荷的情况计算。

例：考虑一个接地的半径为 R 的导体球，球外离球心距离 a 处有一个点电荷 q，求球外电场分布。

解：用电像法。我们需要保证边界条件不变，即球壳电势为零。根据阿波罗尼斯球的理论，只要在 q 沿球的反演点放一个电荷 q_0=-\dfrac{Rq}{a} 就能满足这一点。于是这个 q_0 就是要求电像。

修改 1：将导体球的电势（由 0）改为 \varphi_0。

修改 2：导体球不接地，但是限制其总电荷为 Q。

上述两个修改都可以通过在球心增加一个点电荷 q' 作为电像解决。不难发现在球心放电荷不会影响球壳的等势性。对于修改 1，电荷量为 q'=4\pi\varepsilon_0\varphi_0R；对于修改 2，电荷量为 q'=Q-q_0。

电荷系统的高阶小量

点电荷通常是对一个电荷系统最粗糙的近似，即假设整个系统的所有电荷集中在某一点上。当系统的尺度远小于要考虑问题的尺度时，点电荷确实是一个主项。但如果整个系统的净电荷为零，那么点电荷项就是零了，这时我们就需要考虑电荷系统的高阶小量。

将坐标系原点设在电荷系统 \Omega 内，考虑 \mathbf r 处的电势，有

\varphi(\mathbf r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\Omega}\dfrac{\rho(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\mathrm dV.

其中 \mathbf r' 是 \Omega 内的任意一点，其到 \mathbf r 的距离是 |\mathbf r-\mathbf r'|。

按我们的假设，r' 远小于 r，所以我们对 \dfrac{1}{{|\mathbf r-\mathbf r'|}} 在 \mathbf r'\to \mathbf 0 时做泰勒展开，回顾多元函数的泰勒展开得到

\dfrac{1}{{|\mathbf r-\mathbf r'|}}=\dfrac{1}{r}-\mathbf r'\cdot \nabla\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{2}\mathbf r'\mathbf r'^T\odot H(\dfrac{1}{r})+\cdots.

其中 H(f) 表示 f 的 Hesse 矩阵，即所有二阶偏导数组成的矩阵，\odot 表示对应位置元素相乘相加。

将其带入 \varphi(\mathbf r) 的计算，就有

\varphi(\mathbf r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\int_{\Omega} \rho(\mathbf r')\mathrm dV\cdot \dfrac{1}{r}-\int_{\Omega} \mathbf r'\rho(\mathrm r')\mathrm dV\cdot \nabla\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{2}\int_{\Omega}\mathbf r'\mathbf r'^T\rho(\mathbf r')\mathrm dV\odot H(\dfrac{1}{r})+\cdots\right).

括号中的每一项对应泰勒展开中某个次数，k 次项对应的加数有 3^k 项。

第一项（0 次项）就是我们熟悉的点电荷：

Q=\int_{\Omega} \rho(\mathbf r')\mathrm dV.

第二项（1 次项）称为电偶极矩：

\mathbf p=\int_{\Omega} \mathbf r'\rho(\mathrm r')\mathrm dV.

它是一个三维向量。对于一个中心对称的体系来说，\mathbf p=0，所以 \mathbf p 可以用来衡量电荷分布的非中心对称性。

第三项（2 次项）称为电四极矩：

D=\int_{\Omega}3\mathbf r'\mathbf r'^T\rho(\mathbf r')\mathrm dV\in M_{3\times 3}(\mathbb R).

它是一个 3\times 3 矩阵。对于一个球对称的体系来说，D=0，所以 D 可以用来衡量电荷分布的非球对称性。

以此类推，还可以定义电多极矩。

我们用一个比较魔怔的符号 \nabla\nabla f 代替 H(f)，再用一个比较魔怔的符号 : 代替 \odot，就可以得到一个看上去比较统一的式子：

\varphi(\mathbf r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(Q\dfrac{1}{r}-\mathbf p\cdot\nabla\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{6}D:\nabla\nabla\dfrac{1}{r}+\cdots \right).

例子：净电荷非零的系统，Q 是主项；水分子是极性分子，所以其中 \mathbf p 是主项；二氧化碳分子是非极性分子，但不是球对称的，所以其中 D 是主项。

复势

考虑一个复变函数 f(z)，可以将其看作两个二元实变函数，即

f(x+iy)=U(x,y)+iV(x,y).

倘若 f 在 z_0 可微，即 f'(z_0)=z' 存在。则我们有柯西-黎曼条件：

\begin{cases}\dfrac{\partial U}{\partial x}(z_0)=\dfrac{\partial V}{\partial y}(z_0)\\ \dfrac{\partial U}{\partial y}(z_0)=-\dfrac{\partial V}{\partial x}(z_0)\end{cases}.

证明：在 x 方向逼近 z_0，得到

z'&=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{U(x+\Delta x,y)+iV(x+\Delta x,y)-U(x,y)-iV(x,y)}{\Delta x}\\ &=\dfrac{\partial U}{\partial x}(z_0)+i\dfrac{\partial V}{\partial x}(z_0). \end{aligned}

在 y 方向逼近 z_0，得到：

z'&=\lim_{\Delta y\to 0}\dfrac{U(x,y+\Delta y)+iV(x,y+\Delta y)-U(x,y)-iV(x,y)}{i\Delta y}\\ &=\dfrac{\partial V}{\partial y}(z_0)-i\dfrac{\partial U}{\partial y}(z_0). \end{aligned}

对比实部和虚部就得到了柯西-黎曼条件。

没学过复分析就不多 bb 了。假设 f 在 z_0 解析，那么在柯西-黎曼条件中，将第一行对 x 求导，第二行对 y 求导，相加即得

\dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2}(z_0)+\dfrac{\partial^2 U}{\partial y^2}(z_0)=\dfrac{\partial^2 V}{\partial x\partial y}(z_0)-\dfrac{\partial^2 V}{\partial y\partial x}(z_0)=0.

同理，第一行对 y 求导，第二行对 x 求导，相减即得

\dfrac{\partial^2 V}{\partial x^2}(z_0)+\dfrac{\partial^2 V}{\partial y^2}(z_0)=0.

于是，如果 f 在（x-y 平面中的） D 上解析，那么 U,V 在 D 上就都是调和函数，此外还有

\nabla U\cdot \nabla V=\dfrac{\partial U}{\partial x}\dfrac{\partial V}{\partial x}+\dfrac{\partial U}{\partial y}\dfrac{\partial V}{\partial y}=\dfrac{\partial U}{\partial x}\dfrac{\partial V}{\partial x}-\dfrac{\partial V}{\partial x}\dfrac{\partial U}{\partial x}=0.

即 \nabla U 和 \nabla V 是正交的向量场。于是我们突发奇想，将 \nabla V 看作电场，\nabla U 看作等势能线。这样，我们就用一个复变函数 f 表达了一个电场，f 称为该电场的复势函数。

保角变换

我们不禁要问，上面定义出的复势函数究竟有什么用？这里写一个与之相关的 trick。由于我是上网现学的，所以可能只会用，没有什么理解，就不写太多证明之类的了。

根据复变函数的知识，解析函数对应的变换是保角的。即考虑解析函数 f(z) 代表的空间变换 z\to f(z)，则它会将原先空间中的一个角映射到新空间的一个等角。

从 z 到 f(z)，可以直观地感受线元被拉伸了 |f'(z)| 倍，面积被拉伸了 |f'(z)|^2 倍。从而设原空间 z 处的电荷密度为 \sigma(z)，那么新空间此处的密度就是 \sigma'(f(z))=\dfrac{\sigma(z)}{|f'(z)|^2}。此外，通过计算可以证明，新空间的拉普拉斯算子 \Delta' 和原空间 \Delta 满足关系 \Delta'=\dfrac{1}{|f'(z)|^2}\Delta（参考 https://www.bilibili.com/video/BV17J411Y7cV ），这和电荷密度的变换有一种同一性，于是泊松方程依然满足：

\Delta'(\varphi'(f(z)))=\dfrac{1}{|f'(z)|^2}\Delta(\varphi(z))=\dfrac{\sigma(z)}{|f'(z)|^2\varepsilon_0}=\dfrac{\sigma'(f(z))}{\varepsilon_0}.

这表明我们在静电场部分学习的知识在新空间里都能用，求出新空间的电势就等于原空间中相应点的电势。

例子：f(z)=z^k 把一个大小为 \dfrac{\pi}{k} 的角展成直线；f(z)=e^z,\ f(z)=\ln z 可以将原点为圆心的圆和竖直线段互相转化。