e^x=x^e不止一个解

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注：本文是为了回应myw的文章

z^e=e^z

设 z=x+yi=r(\cos \theta+i\sin \theta)

其中 r=\sqrt{x^2+y^2},\theta=\arctan (\frac{y}{x})

则有 e^{x+yi}=[r(\cos \theta+i\sin \theta)]^e

挨个看等式两边。

e^{x+yi}=e^x\cdot e^{yi}=e^x(\cos y+i\sin y) [r(\cos \theta+i\sin \theta)]^e=r^e(\cos e\theta+i\sin e\theta)

于是有 e^x\cos y+ie^x\sin y=r^e\cos e\theta+ir^e\sin e\theta

移项，得 e^x\cos y+ie^x\sin y-r^e\cos e\theta-ir^e\sin e\theta=0

虚部对虚部，实部对实部，有

\left\{\begin{matrix} e^x\cos y-r^e\cos e\theta=0 \\ e^x\sin y-r^e\sin e\theta=0 \end{matrix}\right.

写成只有 x,y 的形式，得到

e^x\cos y-(x^2+y^2)^{\frac{e}{2}}\cos( e\arctan(\frac{y}{x} ))=0 \\ e^x\sin y-(x^2+y^2)^{\frac{e}{2}}\sin ( e\arctan(\frac{y}{x} ))=0 \end{matrix}\right.

这两个式子都是只包含 x,y 的实式，它们相联立，就描述了 z^e=e^z 的解的情况。

这么复杂的式子手算自然算不出来，于是我把它代入到万能的 desmos 里，如图为结果：

两条曲线的交点即为方程e^x=x^e的解，显然，在实轴上只有x=e这一个根，但在复平面上有无数个根。