观“n 个 [0,1] 随机变量第 k 小的期望”有感

· · 个人记录

不妨令 n 个随机变量为 a_1,a_2,...,a_n，且规定 a_1 \leqslant a_2 \leqslant a_3 \leqslant ... \leqslant a_n。则第 k 小为 a_k。

令 a_0=0,a_{n+1}=1,b_x=a_{x+1}-a_x，则由定义可得 \sum^n_{x=0} b_x=1 且所求答案为 \sum^{k-1}_{x=0} b_x。即问题等同于将区间 [0,1) 划分为 n+1 份之后的前 k 份之和。

因为交换两个相邻的 b 只会导致一个 a 的偏移，换句话说对于任意一个 a 值，偏移到某确定点都会导致两个 b 值交换，所以对于任意 b 的值集合，它的所有排列均与某个 a 序列一一对应，故 b 中每个位置都应该是等效的。所以 b 中每个位置的期望值都应该相同，又因总和为 1，所以每个的期望值均为 \frac1{n+1}。

故前 k 份之和为 \frac{k}{n+1}，即 a_k 的期望为 \frac{k}{n+1}。

（本蒟蒻看到 sys. 聚佬的论证有感而发，如有不足之处希望各位多多包涵qwq）