CodeForces - 1453F（dp）
90nwyn
2020-12-05 12:40:27
[题目链接](https://vjudge.net/problem/CodeForces-1453F)
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设$dp[i][j](i \leq j)$为存在某一点$k(k<i)$，有且仅有一条路径到达点$i$，同时该点能到达的最远的位置为$j$（即$k+a_{k}=j$）时的最优解
考虑如何状态转移
更新点$i$的状态时，从$i-1$枚举到$1$，假设当前枚举到点$j$且满足$j+a_j \geq i$，记$cnt$为点$j+1$到点$i-1$中，有多少点能直接一次到达点$i$，那么为了使得点$j$到点$i$的路径唯一，该$cnt$个点应当全部变为$0$，所以状态转移方程为：
$dp[i][j+a_j]=min(dp[i][j+a_j], min(dp[j][j],dp[j][j+1],...dp[j][i-1]) +cnt)$
每次更新完点$i$的状态后，
维护前缀最小值$suf[j][i-1]=min(dp[j][j],dp[j][j+1],...dp[j][i-1])$
所以$dp[i][j+a_j]=min(dp[i][j+a_j], suf[j][i-1]+cnt),if$ $(j<i \leq j+a_j)$
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```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=3e3+10,inf=0x3f3f3f3f;
int n,dp[M][M],a[M];
int main()
{
int T;scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
for(int i=2;i<=n;i++)
{
for(int j=i;j<=n;j++)dp[i][j]=inf;
int c=0;
for(int j=i-1;j>=1;j--)
if(j+a[j]>=i)
dp[i][j+a[j]]=min(dp[i][j+a[j]],dp[j][i-1]+c),c++;
for(int j=i+1;j<=n;j++)dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][j-1]);
}
printf("%d\n",dp[n][n]);
}
return 0;
}
/*
3
8
4 5 4 2 1 0 1 0
4
3 1 1 0
5
2 2 2 1 0
*/
```