题两道
Acc_Robin
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个人记录
其一
令 x=0，每次从 [0,1] 中随机一个实数加到 x 上，直到 x> 1，求期望次数。
解
令 f(n) 表示从 [0,1] 中取 n 个数，这 n 个数的和不超过 1 的概率。那么 f(n) 即为 n 维空间中每个坐标轴上 1 的位置以及原点连成的高维锥体的体积，易知
f(n)=\frac1{n!}
记随机变量 X 表示取数的次数，则其期望
E(X) =\sum_{i\ge 1} iP(X=i)=\sum_{i\ge 1} P(X\ge i)=\sum_{i\ge1}P(X>i-1)
$$
E(X)=\sum_{i\ge 1}f(i-1)=\sum_{i\ge 1}\frac{1}{(i-1)!}=\sum_{i\ge 0}\frac 1{i!}=e
$$
## 其二
随机变量 $X\sim B(n,p)$，记 $a$ 表示 $X$ 取奇数的概率，即
$$
a=\sum\limits_{i=2k+1}\binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}
$$
试证明：当 $0<p<\frac 12$ 时，$a$ 关于 $p$ 递增。