圆

donotctjuntilAFO · 2023-05-13 20:58:55 · 学习·文化课

前言

强烈建议先学习相似再学习圆。

正文

1 圆

一 圆的定义和性质

定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

性质：

1. 圆上任意一点到圆心的距离等于半径。圆也是所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

2. 定点和定长可以确定一个圆，定点决定圆的位置，半径决定圆的大小。

二 圆的一些概念

1. 圆心和半径都相同的圆叫做同圆。

2. 圆心相同但半径不同的圆叫做同心圆。

3. 半径相同但圆心不同叫做等圆。

三 弦和弧

弦：

1. 连接圆上任意两点的线段叫做弦。

2. 过圆心的弦是直径，并且直径是在同一个圆内最长的弦。直径所在的直线是圆的对称轴，因此，圆的对称轴有无数条。直径等于半径的两倍。

3. 弦到圆心的距离叫弦心距。

弧：

1. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。在同圆或等圆中，能够重合的弧叫等弧。

2. 圆的任意一条直径将圆分为两条弧，这两条弧都是半圆。

3. 大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧，半圆既不是优弧，也不是劣弧。

四 圆中的角

1. 顶点在圆心上的角叫做圆心角。

2. 顶点在圆周上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

习题：

1. 如下图：AB 为 \odot O 的直径，CE 是 \odot O 的弦，AB、CE 的延长线交于点 D。若 DE=\frac{1}{2}AB ,\angle D=18^{\circ} ,求 \angle AOC 的度数。

2 圆周角定理

一 圆周角定理

1. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，等于这条弧所对的圆心角的一半。

2. 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弦和弧也相等（等角对等弦对等弧）。

3. 半圆或直径所对圆周角是直角， 90^{\circ} 的圆周角所对的弦是直径。

二 弧、弦、圆心角之间的关系

1. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等（等角对等弦对等弧）。

2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等（知一推二）。

总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个圆周角、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等（知一推四）。

习题：

1. 如下图，点 A,B,C,D 均在 \odot O 上，已知 AB 为 \odot O 的直径，CD 平分 \angle ACB，BC=7,AC=24 求弦 BD 的长。

3 垂径定理

1. 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。

2. 平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

总结：平分弦（非直径）、垂直于弦、直径（过圆心的线段）、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这 5 个条件中，任知两个推另外三个（知二推三）

4 四点共圆（圆内接四边形）

四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆。

圆内接四边形：四个顶点均在同一圆上的四边形叫圆内接四边形。

性质：

1. 圆内接四边形的对角互补。

2. 圆内接四边形的同侧共底的两个三角形的顶角相等。

3. 圆内接四边形的外角等于内对角。

4. 托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。即：AB\times CD+AD\times CB=AC\times BD

判定：

1. 对角互补的四边形是圆内接四边形。

2. 同侧共底的两个三角形的顶角相等的四边形是圆内接四边形。

3. 外角等于内对角的四边形是圆内接四边形。

4. 托勒密定理逆定理：两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积的四边形是圆的内接四边形。

面积公式（婆罗摩笈多公式）：p=\dfrac{a+b+c+d}{2},S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}

一 圆内接垂美四边形

垂美四边形：对角线垂直的四边形，面积等于对角线乘积的一半。

1. 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。（垂直证中点）

推论：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边。（中点证垂直）

2. 性质：圆心到圆内接对角线互相垂直的四边形的一边的距离等于这边的对边长度的一半。

5 点和圆的位置关系

设 \odot O 的半径为 r ,点 P 到圆心的距离为 d

点在圆内 \Leftrightarrow d<r

点在圆上 \Leftrightarrow d=r

点在圆外 \Leftrightarrow d>r

圆内接多边形：所有顶点均在同一圆上的多边形叫圆内接多边形。

多边形的外接圆：使得该多边形的所有顶点都在圆上的圆叫多边形的外接圆。

6 直线和圆的位置关系

设 \odot O 的半径为 r ,圆心到直线 l 的距离为 d

直线与圆相交 \Leftrightarrow d<r，此时这条直线叫圆的割线，与圆有两个公共点。

直线与圆相切 \Leftrightarrow d=r，此时这条直线叫圆的切线，与圆有一个公共点。

直线与圆相离 \Leftrightarrow d>r，与圆没有公共点。

多边形的内切圆：与多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆。

圆外切多边形：指各边与同一圆相切的多边形叫圆外切多边形。

一 切线

性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。

判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

二 弦切角定理

弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个圆周角、两个弦心距、两个弦切角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等（知一推五）。

三 三角形的五心

垂心：三角形三条高的交点。

中心：三角形三条中线的交点。

内心：三角形三条角平分线的交点，同时也是三角形内切圆的圆心。

外心：三角形三边的垂直平分线的交点，同时也是三角形外接圆的圆心。

旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点，同时也是三角形旁切圆的圆心，有三个点。

四 圆幂定理

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。若弦 AB 和弦 CD 的交点为 P ，则 PA\times PB=PC\times PD。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，若切线 PA 其中 A 为割点，和割线 PC 与圆的交点为 B 则 PA^2=PB\times PC。

割线定理：从圆外一点 P 引两条割线与圆分别交于 A,B,C,D，则有 PA\times PB=PC\times PD 。

7 圆与圆的位置关系

公切线：若一条直线同时与两个圆相切，则这条直线被称为这两个圆的公切线。

设 \odot O_1 的半径为 r , \odot O_2 的半径为 R ，两圆心之间的距离为 d ， r<R。

两圆外离 \Leftrightarrow R+r<d 有四条公切线。

两圆外切 \Leftrightarrow R+r=d 有三条公切线。

两圆相交 \Leftrightarrow R-r<d<R+r 有两条公切线。

两圆内切 \Leftrightarrow R-r=d 有一条公切线。

两圆内含 \Leftrightarrow R-r>d 没有公切线。

注意：相离包括外离和内含、相切包括外切、内切。

杂七杂八的定理

鸡爪定理：三角形一内角的平分线与其外接圆的交点到另外两顶点的距离及到内心与旁心的距离相等。

鸭爪定理：任意三角形垂心关于边的对称点在三角形的外接圆上。

蝴蝶定理：设 M 为圆内弦 PQ 的中点，过 M 作弦 AB 和 CD 。设 AD 和 BC 各相交 PQ 于点 X 和 Y ，则 M 是 XY 的中点。

蝴蝶定理的一般形式：坎迪定理：AB 是圆内的一段弦，P 是弦 AB 上任意一点， C,D 是圆上的任意两点，连接 CP,DP 并延长分别交圆于 F,E ，连接 CE,DF 分别交 AB 于 G,H ，设 AP=a,BP=b,GP=x,HP=y，则\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}

九点圆

九点圆定理：在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点(垂心)与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆。

欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心和垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

性质：外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半，且九点圆圆心为外心与垂心连线的中点。

九点圆性质：

1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径一半。

2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点。

3. 费尔巴哈定理：三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切。