《高等数学》第一章第4节习题选做
Elegia
2021-06-10 23:00:26
1. 直接用 $\displaystyle \varepsilon $-$\displaystyle \delta$ 说法证明下列各极限：
(1) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}\sqrt{x} =\sqrt{a} \quad ( a >0)$
由 $\displaystyle \sqrt{x} -\sqrt{a} =\frac{x-a}{\sqrt{x} +\sqrt{a}}$，先假设 $\displaystyle 0< |x-a|< a/2$，那么对于 $\displaystyle \varepsilon >0$，$\displaystyle \left| \sqrt{x} -\sqrt{a}\right| =\frac{|x-a|}{\sqrt{x} +\sqrt{a}} < \varepsilon \Leftrightarrow |x-a|< \varepsilon \cdot \left(\sqrt{x} +\sqrt{a}\right) \Leftarrow |x-a|< \varepsilon \cdot \frac{2+\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{a}$，取 $\displaystyle \delta =\min\left( \varepsilon \cdot \frac{2+\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{a} ,a/2\right)$ 即证。
(2) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow a} x^{2} =a^{2}$
对于 $\displaystyle a=0$，对于 $\displaystyle \varepsilon >0$ 取 $\displaystyle \delta =\frac{1}{2} \varepsilon ^{1/2}$ 即证。
有 $\displaystyle x^{2} -a^{2} =( x-a)( x+a)$，先假设 $\displaystyle 0< |x-a|< |a|/2$，对于 $\displaystyle \varepsilon >0$，$\displaystyle |x^{2} -a^{2} |< \varepsilon \Leftrightarrow |x-a|< \frac{\varepsilon }{|x+a|} \Leftarrow |x-a|< \frac{\varepsilon }{\frac{1}{2} |a|}$，取 $\displaystyle \delta =\min( 2\varepsilon /|a|,|a|/2)$ 即证。
(3) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow a} e^{x} =e^{a}$
对于 $\displaystyle \varepsilon >0$，不妨设 $\displaystyle \varepsilon < e^{a}$，
$$
\begin{aligned}
& |e^{x} -e^{a} |< \varepsilon \\
\Leftrightarrow & |e^{x-a} -1|< \varepsilon e^{-a}\\
\Leftrightarrow & 1-\varepsilon e^{-a} < e^{x-a} < 1+\varepsilon e^{-a}\\
\Leftrightarrow & \ln\left( 1-\varepsilon e^{-a}\right) < x-a< \ln\left( 1+\varepsilon e^{-a}\right)\\
\Leftarrow & |x-a|< \min\left(\ln\left( 1+\varepsilon e^{-a}\right) ,-\ln\left( 1+\varepsilon e^{-a}\right)\right)
\end{aligned}
$$
令 $\displaystyle \delta =\min\left(\ln\left( 1+\varepsilon e^{-a}\right) ,-\ln\left( 1+\varepsilon e^{-a}\right)\right)$ 即证。
(4) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}\cos x=\cos a$
对于 $\displaystyle \varepsilon >0$，设 $\displaystyle x=a+\mu$
$$
\begin{aligned}
& |\cos x-\cos a|< \varepsilon \\
\Leftrightarrow & 2\left| \sin\frac{x+a}{2}\right| \cdot \left| \sin\frac{x-a}{2}\right| < \varepsilon \\
& 2| \sin( a+\mu /2)| \cdot \left| \sin\frac{\mu }{2}\right| < \varepsilon
\end{aligned}
$$
当 $\displaystyle a=k\pi$ 时，$\displaystyle | \sin( a+\mu /2)| \cdot \left| \sin\frac{\mu }{2}\right| =\sin^{2}\frac{\mu }{2} < \varepsilon /2\Leftrightarrow |\mu |< 2\arcsin\min\left(\sqrt{\varepsilon /2} ,1\right)$。
否则，设 $\displaystyle a=k\pi +d,0< |d|\leq \pi /2$，那么先设 $\displaystyle |\mu |< |d|$，可知 $\displaystyle \sin( a+\mu /2) \neq 0$，而由 $\displaystyle \sin$的单调性可知 $\displaystyle |\sin( a+\mu /2) |\geq \min( |\sin( a-|d|/2) |,|\sin( a+|d|/2) |) =C$，因此原始 $\displaystyle \Leftarrow \sin |\mu /2|< \frac{\varepsilon }{2C} \Leftrightarrow |\mu |< 2\arcsin\min\left(\frac{\varepsilon }{2C} ,1\right)$。
3. 求下列极限：
(1) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\frac{( 1+x)^{2} -1}{2x}$
解：$\displaystyle =\lim _{x\rightarrow 0}\frac{x^{2} +2x}{2x} =\lim _{x\rightarrow 0}( x/2+1) =1$。
(2) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}$
解：$\displaystyle =\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\cos 0-\cos x}{x^{2}} =\lim _{x\rightarrow 0}\frac{2\sin^{2}\frac{x}{2}}{x^{2}} =\frac{1}{2}\lim _{y\rightarrow 0}\left(\frac{\sin y}{y}\right)^{2} =\frac{1}{2}$。
(3) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+a} -\sqrt{a}}{x} \quad ( a >0)$
解：$\displaystyle =\lim _{x\rightarrow 0}\frac{x}{x\left(\sqrt{x+a} +\sqrt{a}\right)} =\lim _{x\rightarrow 0}\left(\sqrt{x+a} +\sqrt{a}\right)^{-1} =\frac{1}{2\sqrt{a}}$。
(4) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}\frac{x^{2} -x-2}{2x^{2} -2x-3}$
解：上下各有极限 $\displaystyle -2,-3$，因此有极限 $\displaystyle \frac{2}{3}$。
(6) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\frac{( 2x-3)^{20}( 3x+2)^{10}}{( 2x+1)^{30}}$
解：上下同除以 $\displaystyle x^{30}$，有 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left( 2-\frac{3}{x}\right)^{20}\left( 3+\frac{2}{x}\right)^{10} =2^{20} \cdot 3^{10}$，以及 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left( 2+\frac{1}{x}\right)^{30} =2^{30}$，因此极限为 $\displaystyle ( 3/2)^{10}$。
(7) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x} -\sqrt{1-x}}{x}$
解：$\displaystyle =\lim _{x\rightarrow 0}\frac{2x}{x\left(\sqrt{1+x} +\sqrt{1-x}\right)} =\lim _{x\rightarrow 0}\frac{2}{\sqrt{1+x} +\sqrt{1-x}} =\frac{2}{1+1} =1$。
(8) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow -1}\left(\frac{1}{x+1} -\frac{3}{x^{3} +1}\right)$
解：$\displaystyle =\lim _{x\rightarrow -1}\frac{\left( x^{2} -x+1\right) -3}{x^{3} +1} =\lim _{x\rightarrow -1}\frac{( x+1)( x-2)}{x^{3} +1} =\lim _{x\rightarrow -1}\frac{x-2}{x^{2} -x+1} =\frac{-3}{3} =-1$
(9) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 4}\frac{\sqrt{1+2x} -3}{\sqrt{x} -2}$
解：$\displaystyle =\lim _{y\rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+2y} -3}{\sqrt{4+y} -2}$，上下同除 $\displaystyle y$，有 $\displaystyle \lim _{y\rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+2y} -3}{y} =\lim _{y\rightarrow 0}\frac{2}{\sqrt{9+2y} +3} =\frac{1}{3}$，以及 $\displaystyle \lim _{y\rightarrow 0}\frac{\sqrt{4+y} -2}{y} =\lim _{y\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{4+y} +2} =\frac{1}{4}$，因此极限为 $\displaystyle \frac{4}{3}$。
(10) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}\frac{x^{n} -1}{x-1} \quad \left( n\in \mathbb{Z}^{+}\right)$
解：$\displaystyle =\lim _{x\rightarrow 1}\left( 1+x+\cdots +x^{n-1}\right)$，各项极限均为 $\displaystyle 1$，而且是有限和，可知极限为 $\displaystyle n$。
(11) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left(\sqrt{x^{2} +1} -\sqrt{x^{2} -1}\right)$
解：$\displaystyle =\lim _{x\rightarrow \infty }\frac{2}{\sqrt{x^{2} +1} +\sqrt{x^{2} -1}} =\lim _{y\rightarrow 0}\frac{2}{\sqrt{y^{-2} +1} +\sqrt{y^{-2} -1}} =\lim _{y\rightarrow 0}\frac{2y}{\sqrt{1+y^{2}} +\sqrt{1-y^{2}}} =0$。
(12) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\frac{a_{0} x^{m} +\cdots +a_{m}}{b_{0} x^{n} +\cdots +b_{n}} \quad ( b_{n} \neq 0)$
解：分子的极限是 $\displaystyle a_{m}$，分母的极限是 $\displaystyle b_{n} \neq 0$，因此极限就是 $\displaystyle a_{m} /b_{n}$。
(13) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }\frac{a_{0} x^{m} +\cdots +a_{m}}{b_{0} x^{n} +\cdots +b_{n}} \quad ( a_{n} b_{m} \neq 0)$
解：考虑 $\displaystyle =\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac{a_{0} x^{m-n} +\cdots +a_{m} x^{-n}}{b_{0} +\cdots +b_{n} x^{-n}}$，当 $\displaystyle m< n$ 时极限为 $\displaystyle 0/b_{0} =0$，当 $\displaystyle m=n$ 时极限为 $\displaystyle a_{0} /b_{0}$，当 $\displaystyle m >n$ 时分子极限为 $\displaystyle \infty $，分母有界，故极限为 $\displaystyle \infty $。
(15) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{1+3x} -\sqrt[3]{1-2x}}{x+x^{2}}$
解：设 $\displaystyle u=\sqrt[3]{1+3x} ,v=\sqrt[3]{1-2x}$，那么
$$
\begin{aligned}
& =\lim _{x\rightarrow 0}\frac{a-b}{x+x^{2}}\\
& =\lim _{x\rightarrow 0}\frac{a^{3} -b^{3}}{\left( a^{2} +ab+b^{2}\right)\left( x+x^{2}\right)}\\
& =\lim _{x\rightarrow 0}\frac{5x}{\left( a^{2} +ab+b^{2}\right)\left( x+x^{2}\right)}\\
& =\lim _{x\rightarrow 0}\frac{5}{\left( a^{2} +ab+b^{2}\right)( 1+x)}\\
& =\frac{5}{3}
\end{aligned}
$$
(16) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow a^{+}}\frac{\sqrt{x} -\sqrt{a} +\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^{3} -a^{3}}} \quad ( a >0)$
解：上下同除 $\displaystyle \sqrt{x-a}$，分母为 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow a^{+}}\sqrt{x^{2} +ax+a^{2}} =\sqrt{3} a$，分子为 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow a^{+}}\left(\frac{\sqrt{x} -\sqrt{a}}{\sqrt{x-a}} +1\right) =\lim _{x\rightarrow a^{+}}\left(\frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x} +\sqrt{a}} +1\right) =1$，因此极限为 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3} a}$。
4. 利用 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} =1$ 以及 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{x}\right)^{x} =e$，求下列极限：
(1) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin \alpha x}{\tan \beta x} \quad ( \beta \neq 0)$
解：上下同除 $\displaystyle x$，若 $\displaystyle \alpha =0$ 有极限为 $\displaystyle 0$，否则 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin \alpha x}{x} =\lim _{y\rightarrow 0}\frac{\sin y}{y/\alpha } =\alpha $。分母有 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\frac{\tan \beta x}{x} =\lim _{y\rightarrow 0}\frac{\tan y}{y/\beta } =\lim _{y\rightarrow 0}\frac{\sin y}{y} \cdot \frac{\beta }{\cos y} =\beta $。因此答案为 $\displaystyle \alpha /\beta $。
(2) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin\left( 2x^{2}\right)}{3x}$
解：$\displaystyle =\lim _{x\rightarrow 0} x\cdot \frac{\sin\left( 2x^{2}\right)}{3x^{2}}$，后者极限为 $\displaystyle \lim _{y\rightarrow 0}\frac{\sin 2y}{3y} =2/3$，而前者极限为 $\displaystyle 0$，故极限为 $\displaystyle 0$。
(5) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}\frac{\sin x-\sin a}{x-a}$
解：$\displaystyle =\lim _{x\rightarrow a}\left(\cos\frac{x+a}{2} \cdot \frac{2\cos\frac{x+a}{2}\sin\frac{x-a}{2}}{x-a}\right)$，前者极限为 $\displaystyle \cos a$，后者极限为 $\displaystyle 1$，因此极限为 $\displaystyle \cos a$。
(6) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{k}{x}\right)^{-x}$
解：做变量代换 $\displaystyle x=ky$，有 $\displaystyle =\lim _{y\rightarrow \infty }\left[\left( 1+\frac{1}{y}\right)^{y}\right]^{-k} =e^{-k}$
(7) $\displaystyle \lim _{y\rightarrow 0}( 1-5y)^{1/y}$
解：做变量代换 $\displaystyle y=-\frac{1}{5x}$，有 $\displaystyle =\lim _{x\rightarrow \infty }\left[\left( 1-\frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{-5} =e^{-5}$。
(8) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{x}\right)^{x+100}$
解：$\displaystyle =\lim _{x\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{x}\right)^{x} \cdot \left( 1+\frac{1}{x}\right)^{100}$，前者极限为 $\displaystyle e$，后者极限为 $\displaystyle 1$。故极限为 $\displaystyle e$。
5. 给出 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow a} f( x) =+\infty$ 和 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty } =-\infty$ 的严格定义。
前者：任取 $\displaystyle A$，存在 $\displaystyle \delta$ 使得 $\displaystyle \forall x( 0< |x-a|< \delta ) ,f( x) >A$。
后者：任取 $\displaystyle A$，存在 $\displaystyle X$ 使得 $\displaystyle \forall x( x< X) ,f( x) < A$。